MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999... Unicode version

Theorem 0.999... 13690
Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. 9 1 9 2 9 3 , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
0.999...

Proof of Theorem 0.999...
StepHypRef Expression
1 10re 10649 . . . . . . 7
21recni 9629 . . . . . 6
3 nnnn0 10827 . . . . . 6
4 expcl 12184 . . . . . 6
52, 3, 4sylancr 663 . . . . 5
62a1i 11 . . . . . 6
7 10pos 10663 . . . . . . . 8
81, 7gt0ne0ii 10114 . . . . . . 7
98a1i 11 . . . . . 6
10 nnz 10911 . . . . . 6
116, 9, 10expne0d 12316 . . . . 5
12 9cn 10648 . . . . . 6
13 divrec 10248 . . . . . 6
1412, 13mp3an1 1311 . . . . 5
155, 11, 14syl2anc 661 . . . 4
166, 9, 10exprecd 12318 . . . . 5
1716oveq2d 6312 . . . 4
1815, 17eqtr4d 2501 . . 3
1918sumeq2i 13521 . 2
201, 8rereccli 10334 . . . . 5
2120recni 9629 . . . 4
22 0re 9617 . . . . . . 7
231, 7recgt0ii 10476 . . . . . . 7
2422, 20, 23ltleii 9728 . . . . . 6
2520absidi 13210 . . . . . 6
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5
27 1lt10 10771 . . . . . 6
28 recgt1 10466 . . . . . . 7
291, 7, 28mp2an 672 . . . . . 6
3027, 29mpbi 208 . . . . 5
3126, 30eqbrtri 4471 . . . 4
32 geoisum1c 13689 . . . 4
3312, 21, 31, 32mp3an 1324 . . 3
3412, 2, 8divreci 10314 . . . 4
3512, 2, 8divcan2i 10312 . . . . . 6
36 ax-1cn 9571 . . . . . . . 8
372, 36, 21subdii 10030 . . . . . . 7
382mulid1i 9619 . . . . . . . 8
392, 8recidi 10300 . . . . . . . 8
4038, 39oveq12i 6308 . . . . . . 7
4136, 12addcomi 9792 . . . . . . . . 9
42 df-10 10627 . . . . . . . . 9
4341, 42eqtr4i 2489 . . . . . . . 8
442, 36, 12, 43subaddrii 9932 . . . . . . 7
4537, 40, 443eqtrri 2491 . . . . . 6
4635, 45eqtri 2486 . . . . 5
47 9re 10647 . . . . . . . 8
4847, 1, 8redivcli 10336 . . . . . . 7
4948recni 9629 . . . . . 6
5036, 21subcli 9918 . . . . . 6
5149, 50, 2, 8mulcani 10213 . . . . 5
5246, 51mpbi 208 . . . 4
5334, 52oveq12i 6308 . . 3
54 9pos 10662 . . . . . 6
5547, 1, 54, 7divgt0ii 10488 . . . . 5
5648, 55gt0ne0ii 10114 . . . 4
5749, 56dividi 10302 . . 3
5833, 53, 573eqtr2i 2492 . 2
5919, 58eqtri 2486 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  9c9 10617   c10 10618   cn0 10820   cexp 12166   cabs 13067  sum_csu 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator