MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00id Unicode version

Theorem 00id 9776
Description: is its own additive identity. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
00id

Proof of Theorem 00id
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9617 . 2
2 ax-rnegex 9584 . 2
3 oveq2 6304 . . . . . . 7
43eqeq1d 2459 . . . . . 6
54biimpd 207 . . . . 5
65adantld 467 . . . 4
7 ax-rrecex 9585 . . . . . . 7
87adantlr 714 . . . . . 6
9 simplll 759 . . . . . . . . . . 11
109recnd 9643 . . . . . . . . . 10
11 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
1211recnd 9643 . . . . . . . . . 10
13 0cn 9609 . . . . . . . . . . 11
14 mulass 9601 . . . . . . . . . . 11
1513, 14mp3an3 1313 . . . . . . . . . 10
1610, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9
17 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
1813mulid2i 9620 . . . . . . . . . . 11
1917, 18syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
2019ad2antll 728 . . . . . . . . 9
2116, 20eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
2221oveq1d 6311 . . . . . . 7
23 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12
2423oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
25 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . 15
261, 25mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
2827recnd 9643 . . . . . . . . . . . 12
29 adddir 9608 . . . . . . . . . . . . 13
3013, 29mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12
3110, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3224, 31eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10
3332oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
34 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . 13
351, 26, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
3635ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
3736recnd 9643 . . . . . . . . . 10
38 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . 12
399, 27, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
4039recnd 9643 . . . . . . . . . 10
41 addass 9600 . . . . . . . . . . 11
4213, 41mp3an3 1313 . . . . . . . . . 10
4337, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4433, 43eqtr2d 2499 . . . . . . . 8
4526, 38sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
46 readdcl 9596 . . . . . . . . . . 11
4745, 1, 46sylancl 662 . . . . . . . . . 10
489, 11, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9
49 readdcan 9775 . . . . . . . . . 10
501, 49mp3an2 1312 . . . . . . . . 9
5148, 36, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8
5244, 51mpbid 210 . . . . . . 7
5322, 52eqtr3d 2500 . . . . . 6
548, 53rexlimddv 2953 . . . . 5
5554expcom 435 . . . 4
566, 55pm2.61ine 2770 . . 3
5756rexlimiva 2945 . 2
581, 2, 57mp2b 10 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518
This theorem is referenced by:  mul02lem1  9777  mul02lem2  9778  addid1  9781  addid2  9784  negdiiOLD  9927  addgt0  10063  addgegt0  10064  addgtge0  10065  addge0  10066  add20  10089  recextlem2  10205  crne0  10554  10p10e20  11074  ser0  12159  faclbnd4lem3  12373  bcpasc  12399  fsumadd  13561  fsumrelem  13621  arisum  13671  sadcaddlem  14107  sadcadd  14108  sadadd2  14110  bezout  14180  nnnn0modprm0  14331  pcaddlem  14407  4sqlem19  14481  37prm  14606  139prm  14609  163prm  14610  317prm  14611  631prm  14612  1259lem1  14613  1259lem2  14614  1259lem3  14615  1259lem4  14616  2503lem1  14619  2503lem2  14620  2503lem3  14621  4001lem1  14623  4001lem2  14624  4001lem3  14625  4001lem4  14626  sylow1lem1  16618  psrbagaddcl  18020  psrbagaddclOLD  18021  mplcoe3  18128  mplcoe3OLD  18129  cnfld0  18442  reparphti  21497  itg1addlem4  22106  ibladdlem  22226  itgaddlem1  22229  iblabslem  22234  iblabs  22235  coeaddlem  22646  dcubic  23177  log2ublem3  23279  log2ub  23280  chtublem  23486  logfacrlim  23499  dchrisumlem1  23674  chpdifbndlem2  23739  vdgr0  24900  vdgr1a  24906  1kp2ke3k  25167  dip0r  25630  pythi  25765  normpythi  26059  ocsh  26201  0lnfn  26904  lnopeq0i  26926  nlelshi  26979  unierri  27023  probun  28358  fsumcube  29822  ismblfin  30055  itg2addnc  30069  ibladdnclem  30071  itgaddnclem1  30073  itgaddnclem2  30074  iblabsnclem  30078  iblabsnc  30079  iblmulc2nc  30080  ftc1anclem8  30097  ftc1anc  30098  bezoutr1  30924  stoweidlem44  31826  fourierdlem42  31931  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  sqwvfoura  32011  sqwvfourb  32012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator