MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Unicode version

Theorem 0dvds 12921
Description: Only 0 is divisible by 0 . (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10344 . . . 4
2 divides 12905 . . . 4
31, 2mpan 653 . . 3
4 zcn 10338 . . . . . . 7
54mul01d 9316 . . . . . 6
6 eqtr2 2461 . . . . . 6
75, 6sylan2 462 . . . . 5
87ancoms 441 . . . 4
98rexlimiva 2832 . . 3
103, 9syl6bi 221 . 2
11 dvds0 12916 . . . 4
121, 11ax-mp 5 . . 3
13 breq2 4247 . . 3
1412, 13mpbiri 226 . 2
1510, 14impbid1 196 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  =wceq 1654  e.wcel 1728  E.wrex 2713   class class class wbr 4243  (class class class)co 6129  0cc0 9041   cmul 9046   cz 10333   cdivides 12903
This theorem is referenced by:  fsumdvds  12944  dvdseq  12948  dvdssq  13111  rpdvds  13175  pcdvdstr  13300  pc2dvds  13303  mndodcongi  15232  oddvdsnn0  15233  oddvds  15236  odmulgeq  15244  odf1  15249  odf1o1  15257  gexdvds  15269  gexnnod  15273  torsubg  15520  znf1o  16883  jm2.19  27243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-ltxr 9176  df-neg 9345  df-z 10334  df-dvds 12904
  Copyright terms: Public domain W3C validator