MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Unicode version

Theorem 0dvds 13400
Description: Only 0 is divisible by 0 . (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10521 . . . 4
2 divides 13384 . . . 4
31, 2mpan 653 . . 3
4 zcn 10515 . . . . . . 7
54mul01d 9445 . . . . . 6
6 eqtr2 2507 . . . . . 6
75, 6sylan2 462 . . . . 5
87ancoms 441 . . . 4
98rexlimiva 2879 . . 3
103, 9syl6bi 221 . 2
11 dvds0 13395 . . . 4
121, 11ax-mp 5 . . 3
13 breq2 4322 . . 3
1412, 13mpbiri 226 . 2
1510, 14impbid1 196 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  =wceq 1670  e.wcel 1732  E.wrex 2760   class class class wbr 4318  (class class class)co 6103  0cc0 9161   cmul 9166   cz 10510   cdivides 13382
This theorem is referenced by:  fsumdvds  13423  dvdseq  13427  dvdssq  13591  rpdvds  13657  pcdvdstr  13789  pc2dvds  13792  mndodcongi  15790  oddvdsnn0  15791  oddvds  15794  odmulgeq  15802  odf1  15807  odf1o1  15815  gexdvds  15827  gexnnod  15831  torsubg  16079  znf1o  17457  jm2.19  28490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382  ax-resscn 9218  ax-1cn 9219  ax-icn 9220  ax-addcl 9221  ax-addrcl 9222  ax-mulcl 9223  ax-mulrcl 9224  ax-mulcom 9225  ax-addass 9226  ax-mulass 9227  ax-distr 9228  ax-i2m1 9229  ax-1ne0 9230  ax-1rid 9231  ax-rnegex 9232  ax-rrecex 9233  ax-cnre 9234  ax-pre-lttri 9235  ax-pre-lttrn 9236  ax-pre-ltadd 9237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2764  df-rex 2765  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-ov 6106  df-er 7067  df-en 7274  df-dom 7275  df-sdom 7276  df-pnf 9299  df-mnf 9300  df-ltxr 9302  df-neg 9475  df-z 10511  df-dvds 13383
  Copyright terms: Public domain W3C validator