Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Unicode version

Theorem 0elunit 11667
 Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9617 . 2
2 0le0 10650 . 2
3 0le1 10101 . 2
4 1re 9616 . . 3
51, 4elicc2i 11619 . 2
61, 2, 3, 5mpbir3an 1178 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cle 9650   cicc 11561 This theorem is referenced by:  xrhmeo  21446  htpycom  21476  htpyid  21477  htpyco1  21478  htpyco2  21479  htpycc  21480  phtpy01  21485  phtpycom  21488  phtpyid  21489  phtpyco2  21490  phtpycc  21491  reparphti  21497  pcocn  21517  pcohtpylem  21519  pcoptcl  21521  pcopt  21522  pcopt2  21523  pcoass  21524  pcorevcl  21525  pcorevlem  21526  pi1xfrf  21553  pi1xfr  21555  pi1xfrcnvlem  21556  pi1xfrcnv  21557  pi1cof  21559  pi1coghm  21561  dvlipcn  22395  ttgcontlem1  24188  brbtwn2  24208  axsegconlem1  24220  axpaschlem  24243  axcontlem7  24273  axcontlem8  24274  xrge0iifcnv  27915  xrge0iifiso  27917  xrge0iifhom  27919  lgamgulmlem2  28572  cnpcon  28675  pconcon  28676  txpcon  28677  ptpcon  28678  indispcon  28679  conpcon  28680  sconpi1  28684  txsconlem  28685  txscon  28686  cvxpcon  28687  cvxscon  28688  cvmliftlem14  28742  cvmlift2lem2  28749  cvmlift2lem3  28750  cvmlift2lem8  28755  cvmlift2lem12  28759  cvmlift2lem13  28760  cvmliftphtlem  28762  cvmliftpht  28763  cvmlift3lem1  28764  cvmlift3lem2  28765  cvmlift3lem4  28767  cvmlift3lem5  28768  cvmlift3lem6  28769  cvmlift3lem9  28772 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-icc 11565
 Copyright terms: Public domain W3C validator