MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lmhm Unicode version

Theorem 0lmhm 16108
Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0lmhm.z
0lmhm.b
0lmhm.s
0lmhm.t
Assertion
Ref Expression
0lmhm

Proof of Theorem 0lmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lmhm.b . 2
2 eqid 2435 . 2
3 eqid 2435 . 2
4 0lmhm.s . 2
5 0lmhm.t . 2
6 eqid 2435 . 2
7 simp1 957 . 2
8 simp2 958 . 2
9 simp3 959 . . 3
109eqcomd 2440 . 2
11 lmodgrp 15949 . . . 4
12 lmodgrp 15949 . . . 4
13 0lmhm.z . . . . 5
1413, 10ghm 15012 . . . 4
1511, 12, 14syl2an 464 . . 3
16153adant3 977 . 2
17 simpl2 961 . . . 4
18 simprl 733 . . . . 5
19 simpl3 962 . . . . . 6
2019fveq2d 5724 . . . . 5
2118, 20eleqtrd 2511 . . . 4
22 eqid 2435 . . . . 5
235, 3, 22, 13lmodvs0 15976 . . . 4
2417, 21, 23syl2anc 643 . . 3
25 fvex 5734 . . . . . . 7
2613, 25eqeltri 2505 . . . . . 6
2726fvconst2 5939 . . . . 5
2827oveq2d 6089 . . . 4
2928ad2antll 710 . . 3
30 simpl1 960 . . . . 5
31 simprr 734 . . . . 5
321, 4, 2, 6lmodvscl 15959 . . . . 5
3330, 18, 31, 32syl3anc 1184 . . . 4
3426fvconst2 5939 . . . 4
3533, 34syl 16 . . 3
3624, 29, 353eqtr4rd 2478 . 2
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 36islmhmd 16107 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 359  /\w3a 936  =wceq 1652  e.wcel 1725   cvv 2948  {csn 3806  X.cxp 4868  `cfv 5446  (class class class)co 6073   cbs 13461   csca 13524   cvsca 13525   c0g 13715   cgrp 14677   cghm 14995   clmod 15942   clmhm 16087
This theorem is referenced by:  0nmhm  18781  mendrng  27468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-lmod 15944  df-lmhm 16090
  Copyright terms: Public domain W3C validator