MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lmhm Unicode version

Theorem 0lmhm 16167
Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0lmhm.z
0lmhm.b
0lmhm.s
0lmhm.t
Assertion
Ref Expression
0lmhm

Proof of Theorem 0lmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lmhm.b . 2
2 eqid 2443 . 2
3 eqid 2443 . 2
4 0lmhm.s . 2
5 0lmhm.t . 2
6 eqid 2443 . 2
7 simp1 958 . 2
8 simp2 959 . 2
9 simp3 960 . . 3
109eqcomd 2448 . 2
11 lmodgrp 16008 . . . 4
12 lmodgrp 16008 . . . 4
13 0lmhm.z . . . . 5
1413, 10ghm 15071 . . . 4
1511, 12, 14syl2an 465 . . 3
16153adant3 978 . 2
17 simpl2 962 . . . 4
18 simprl 734 . . . . 5
19 simpl3 963 . . . . . 6
2019fveq2d 5779 . . . . 5
2118, 20eleqtrd 2519 . . . 4
22 eqid 2443 . . . . 5
235, 3, 22, 13lmodvs0 16035 . . . 4
2417, 21, 23syl2anc 644 . . 3
25 fvex 5785 . . . . . . 7
2613, 25eqeltri 2513 . . . . . 6
2726fvconst2 5995 . . . . 5
2827oveq2d 6145 . . . 4
2928ad2antll 711 . . 3
30 simpl1 961 . . . . 5
31 simprr 735 . . . . 5
321, 4, 2, 6lmodvscl 16018 . . . . 5
3330, 18, 31, 32syl3anc 1185 . . . 4
3426fvconst2 5995 . . . 4
3533, 34syl 16 . . 3
3624, 29, 353eqtr4rd 2486 . 2
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 36islmhmd 16166 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728   cvv 2965  {csn 3841  X.cxp 4917  `cfv 5501  (class class class)co 6129   cbs 13520   csca 13583   cvsca 13584   c0g 13774   cgrp 14736   cghm 15054   clmod 16001   clmhm 16146
This theorem is referenced by:  0nmhm  18840  mendrng  27656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-map 7069  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-2 10109  df-ndx 13523  df-slot 13524  df-base 13525  df-sets 13526  df-plusg 13593  df-0g 13778  df-mnd 14741  df-mhm 14789  df-grp 14863  df-ghm 15055  df-mgp 15700  df-rng 15714  df-lmod 16003  df-lmhm 16149
  Copyright terms: Public domain W3C validator