MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 10100
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 9616 . . 3
2 ax-1ne0 9582 . . 3
3 msqgt0 10098 . . 3
41, 2, 3mp2an 672 . 2
5 ax-1cn 9571 . . 3
65mulid1i 9619 . 2
74, 6breqtri 4475 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649
This theorem is referenced by:  0le1  10101  eqneg  10289  elimgt0  10403  ltp1  10405  ltm1  10407  recgt0  10411  mulgt1  10426  reclt1  10465  recgt1  10466  recgt1i  10467  recp1lt1  10468  recreclt  10469  recgt0ii  10476  inelr  10551  nnge1  10587  nngt0  10590  0nnn  10592  nnrecgt0  10598  2pos  10652  3pos  10654  4pos  10656  5pos  10658  6pos  10659  7pos  10660  8pos  10661  9pos  10662  10pos  10663  neg1lt0  10667  halflt1  10782  nn0p1gt0  10850  elnnnn0c  10866  elnnz1  10915  nn0lt10b  10950  recnz  10963  1rp  11253  xmulid1  11500  fz10  11735  fzpreddisj  11758  elfz1b  11777  elfznelfzob  11916  1mod  12028  expgt1  12204  ltexp2a  12217  expcan  12218  ltexp2  12219  leexp2  12220  leexp2a  12221  expnbnd  12295  expnlbnd  12296  expnlbnd2  12297  expmulnbnd  12298  discr1  12302  bcn1  12391  hashnn0n0nn  12458  s2fv0  12850  swrd2lsw  12890  2swrd2eqwrdeq  12891  sgn1  12925  resqrex  13084  mulcn2  13418  cvgrat  13692  cos1bnd  13922  sin01gt0  13925  sincos1sgn  13928  ruclem8  13970  sadcadd  14108  divdenle  14282  43prm  14607  ipostr  15783  srgbinomlem4  17194  abvtrivd  17489  gzrngunit  18483  znidomb  18600  psgnodpmr  18626  thlle  18728  leordtval2  19713  mopnex  21022  dscopn  21094  metnrmlem1a  21362  xrhmph  21447  evth  21459  xlebnum  21465  vitalilem5  22021  vitali  22022  ply1remlem  22563  plyremlem  22700  plyrem  22701  vieta1lem2  22707  reeff1olem  22841  sinhalfpilem  22856  rplogcl  22989  logtayllem  23040  cxplt  23075  cxple  23076  atanlogaddlem  23244  ressatans  23265  rlimcnp  23295  rlimcnp2  23296  cxp2limlem  23305  cxp2lim  23306  cxploglim2  23308  amgmlem  23319  emcllem2  23326  harmonicubnd  23339  fsumharmonic  23341  ftalem1  23346  ftalem2  23347  chpchtsum  23494  chpub  23495  mersenne  23502  perfectlem2  23505  efexple  23556  chebbnd1  23657  dchrmusumlema  23678  dchrvmasumlem2  23683  dchrvmasumiflem1  23686  dchrisum0flblem2  23694  dchrisum0lema  23699  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  mulog2sumlem1  23719  chpdifbndlem1  23738  chpdifbnd  23740  selberg3lem1  23742  pntrmax  23749  pntrsumo1  23750  pntpbnd1a  23770  pntpbnd2  23772  pntibndlem1  23774  pntlem3  23794  pnt  23799  ostth2lem1  23803  ostth2lem3  23820  ostth2lem4  23821  axcontlem2  24268  spthispth  24575  usgrcyclnl1  24640  clwwlkf1  24796  esumcst  28071  hasheuni  28091  ballotlemi1  28441  ballotlemic  28445  sgnnbi  28484  sgnpbi  28485  sgnmulsgp  28489  signsply0  28508  signswch  28518  zetacvg  28557  bpoly4  29821  asindmre  30102  areacirclem4  30110  pellexlem2  30766  pellexlem6  30770  pell14qrgt0  30795  elpell1qr2  30808  pellfundex  30822  pellfundrp  30824  rmxypos  30885  isprm7  31192  radcnvrat  31195  sumnnodd  31636  dvnmul  31740  stoweidlem7  31789  stoweidlem36  31818  stoweidlem38  31820  stoweidlem42  31824  stoweidlem51  31833  stoweidlem59  31841  stirlinglem5  31860  stirlinglem7  31862  stirlinglem10  31865  stirlinglem11  31866  stirlinglem12  31867  stirlinglem15  31870  dirkeritg  31884  fourierdlem11  31900  fourierdlem30  31919  fourierdlem47  31936  fourierdlem79  31968  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fouriersw  32014  etransclem4  32021  etransclem31  32048  etransclem32  32049  etransclem35  32052  etransclem41  32058  uhgrepe  32378  imo72b2  37993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator