MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mhm Unicode version

Theorem 0mhm 15645
Description: The constant zero linear function between two monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0mhm.z
0mhm.b
Assertion
Ref Expression
0mhm

Proof of Theorem 0mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2
2 eqid 2454 . . . . . 6
3 0mhm.z . . . . . 6
42, 3mndidcl 15598 . . . . 5
54adantl 466 . . . 4
6 fconst6g 5721 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
8 simpr 461 . . . . . . 7
9 eqid 2454 . . . . . . . . 9
102, 9, 3mndlid 15600 . . . . . . . 8
1110eqcomd 2462 . . . . . . 7
128, 5, 11syl2anc 661 . . . . . 6
1312adantr 465 . . . . 5
14 0mhm.b . . . . . . . . 9
15 eqid 2454 . . . . . . . . 9
1614, 15mndcl 15579 . . . . . . . 8
17163expb 1189 . . . . . . 7
1817adantlr 714 . . . . . 6
19 fvex 5823 . . . . . . . 8
203, 19eqeltri 2538 . . . . . . 7
2120fvconst2 6058 . . . . . 6
2218, 21syl 16 . . . . 5
2320fvconst2 6058 . . . . . . 7
2420fvconst2 6058 . . . . . . 7
2523, 24oveqan12d 6241 . . . . . 6
2625adantl 466 . . . . 5
2713, 22, 263eqtr4d 2505 . . . 4
2827ralrimivva 2916 . . 3
29 eqid 2454 . . . . . 6
3014, 29mndidcl 15598 . . . . 5
3130adantr 465 . . . 4
3220fvconst2 6058 . . . 4
3331, 32syl 16 . . 3
347, 28, 333jca 1168 . 2
3514, 2, 15, 9, 29, 3ismhm 15625 . 2
361, 34, 35sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   cvv 3081  {csn 3993  X.cxp 4955  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cmnd 15568   cmhm 15621
This theorem is referenced by:  0ghm  15920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-map 7350  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-mhm 15623
  Copyright terms: Public domain W3C validator