MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mhm Unicode version

Theorem 0mhm 15425
Description: The constant zero linear function between two monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0mhm.z
0mhm.b
Assertion
Ref Expression
0mhm

Proof of Theorem 0mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 21 . 2
2 eqid 2422 . . . . . 6
3 0mhm.z . . . . . 6
42, 3mndidcl 15379 . . . . 5
54adantl 456 . . . 4
6 fconst6g 5569 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
8 simpr 451 . . . . . . 7
9 eqid 2422 . . . . . . . . 9
102, 9, 3mndlid 15381 . . . . . . . 8
1110eqcomd 2427 . . . . . . 7
128, 5, 11syl2anc 646 . . . . . 6
1312adantr 455 . . . . 5
14 0mhm.b . . . . . . . . 9
15 eqid 2422 . . . . . . . . 9
1614, 15mndcl 15360 . . . . . . . 8
17163expb 1173 . . . . . . 7
1817adantlr 699 . . . . . 6
19 fvex 5671 . . . . . . . 8
203, 19eqeltri 2492 . . . . . . 7
2120fvconst2 5902 . . . . . 6
2218, 21syl 16 . . . . 5
2320fvconst2 5902 . . . . . . 7
2420fvconst2 5902 . . . . . . 7
2523, 24oveqan12d 6080 . . . . . 6
2625adantl 456 . . . . 5
2713, 22, 263eqtr4d 2464 . . . 4
2827ralrimivva 2787 . . 3
29 eqid 2422 . . . . . 6
3014, 29mndidcl 15379 . . . . 5
3130adantr 455 . . . 4
3220fvconst2 5902 . . . 4
3331, 32syl 16 . . 3
347, 28, 333jca 1153 . 2
3514, 2, 15, 9, 29, 3ismhm 15406 . 2
361, 34, 35sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694   cvv 2951  {csn 3853  X.cxp 4809  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cmnd 15349   cmhm 15402
This theorem is referenced by:  0ghm  15698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-map 7177  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-mhm 15404
  Copyright terms: Public domain W3C validator