MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0neqopab Unicode version

Theorem 0neqopab 6341
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 elopab 4760 . . 3
2 nfopab1 4518 . . . . . 6
32nfel2 2637 . . . . 5
43nfn 1901 . . . 4
5 nfopab2 4519 . . . . . . 7
65nfel2 2637 . . . . . 6
76nfn 1901 . . . . 5
8 vex 3112 . . . . . . . 8
9 vex 3112 . . . . . . . 8
108, 9opnzi 4724 . . . . . . 7
11 nesym 2729 . . . . . . . 8
12 pm2.21 108 . . . . . . . 8
1311, 12sylbi 195 . . . . . . 7
1410, 13ax-mp 5 . . . . . 6
1514adantr 465 . . . . 5
167, 15exlimi 1912 . . . 4
174, 16exlimi 1912 . . 3
181, 17sylbi 195 . 2
19 id 22 . 2
2018, 19pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  <.cop 4035  {copab 4509
This theorem is referenced by:  brabv  6342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-opab 4511
  Copyright terms: Public domain W3C validator