Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith Unicode version

Theorem 1arith 14445
 Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations . (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1
1arith.2
Assertion
Ref Expression
1arith
Distinct variable groups:   ,,   ,M   ,

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10898 . . . . . . 7
2 prmz 14221 . . . . . . . 8
32ssriv 3507 . . . . . . 7
41, 3ssexi 4597 . . . . . 6
54mptex 6143 . . . . 5
6 1arith.1 . . . . 5
75, 6fnmpti 5714 . . . 4
861arithlem3 14443 . . . . . . 7
9 nn0ex 10826 . . . . . . . 8
109, 4elmap 7467 . . . . . . 7
118, 10sylibr 212 . . . . . 6
12 fzfi 12082 . . . . . . 7
13 ffn 5736 . . . . . . . . . 10
14 elpreima 6007 . . . . . . . . . 10
158, 13, 143syl 20 . . . . . . . . 9
1661arithlem2 14442 . . . . . . . . . . . 12
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
19 dvdsle 14031 . . . . . . . . . . . . 13
202, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
21 pcelnn 14393 . . . . . . . . . . . . 13
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
23 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . . . 14
24 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13
26 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . 13
27 elfz5 11709 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 26, 27syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
2920, 22, 283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11
3017, 29sylbid 215 . . . . . . . . . 10
3130expimpd 603 . . . . . . . . 9
3215, 31sylbid 215 . . . . . . . 8
3332ssrdv 3509 . . . . . . 7
34 ssfi 7760 . . . . . . 7
3512, 33, 34sylancr 663 . . . . . 6
36 cnveq 5181 . . . . . . . . 9
3736imaeq1d 5341 . . . . . . . 8
3837eleq1d 2526 . . . . . . 7
39 1arith.2 . . . . . . 7
4038, 39elrab2 3259 . . . . . 6
4111, 35, 40sylanbrc 664 . . . . 5
4241rgen 2817 . . . 4
43 ffnfv 6057 . . . 4
447, 42, 43mpbir2an 920 . . 3
4516adantlr 714 . . . . . . . 8
4661arithlem2 14442 . . . . . . . . 9
4746adantll 713 . . . . . . . 8
4845, 47eqeq12d 2479 . . . . . . 7
4948ralbidva 2893 . . . . . 6
5061arithlem3 14443 . . . . . . 7
51 ffn 5736 . . . . . . . 8
52 eqfnfv 5981 . . . . . . . 8
5313, 51, 52syl2an 477 . . . . . . 7
548, 50, 53syl2an 477 . . . . . 6
55 nnnn0 10827 . . . . . . 7
56 nnnn0 10827 . . . . . . 7
57 pc11 14403 . . . . . . 7
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . 6
5949, 54, 583bitr4d 285 . . . . 5
6059biimpd 207 . . . 4
6160rgen2a 2884 . . 3
62 dff13 6166 . . 3
6344, 61, 62mpbir2an 920 . 2
64 eqid 2457 . . . . . 6
65 cnveq 5181 . . . . . . . . . . . 12
6665imaeq1d 5341 . . . . . . . . . . 11
6766eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
6867, 39elrab2 3259 . . . . . . . . 9
6968simplbi 460 . . . . . . . 8
709, 4elmap 7467 . . . . . . . 8
7169, 70sylib 196 . . . . . . 7
7271ad2antrr 725 . . . . . 6
73 simplr 755 . . . . . . . . 9
74 0re 9617 . . . . . . . . 9
75 ifcl 3983 . . . . . . . . 9
7673, 74, 75sylancl 662 . . . . . . . 8
77 max1 11415 . . . . . . . . 9
7874, 73, 77sylancr 663 . . . . . . . 8
79 flge0nn0 11954 . . . . . . . 8
8076, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . 7
81 nn0p1nn 10860 . . . . . . 7
8280, 81syl 16 . . . . . 6
8373adantr 465 . . . . . . . . . 10
8482adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8584nnred 10576 . . . . . . . . . 10
86 zssre 10896 . . . . . . . . . . . 12
873, 86sstri 3512 . . . . . . . . . . 11
88 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
8987, 88sseldi 3501 . . . . . . . . . 10
9076adantr 465 . . . . . . . . . . 11
91 max2 11417 . . . . . . . . . . . 12
9274, 83, 91sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
93 flltp1 11937 . . . . . . . . . . . 12
9490, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11
9583, 90, 85, 92, 94lelttrd 9761 . . . . . . . . . 10
96 simprr 757 . . . . . . . . . 10
9783, 85, 89, 95, 96ltletrd 9763 . . . . . . . . 9
9883, 89ltnled 9753 . . . . . . . . 9
9997, 98mpbid 210 . . . . . . . 8
10088biantrurd 508 . . . . . . . . . 10
10172adantr 465 . . . . . . . . . . 11
102 ffn 5736 . . . . . . . . . . 11
103 elpreima 6007 . . . . . . . . . . 11
104101, 102, 1033syl 20 . . . . . . . . . 10
105100, 104bitr4d 256 . . . . . . . . 9
106 simplr 755 . . . . . . . . . 10
107 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
108107rspccv 3207 . . . . . . . . . 10
109106, 108syl 16 . . . . . . . . 9
110105, 109sylbid 215 . . . . . . . 8
11199, 110mtod 177 . . . . . . 7
112101, 88ffvelrnd 6032 . . . . . . . . 9
113 elnn0 10822 . . . . . . . . 9
114112, 113sylib 196 . . . . . . . 8
115114ord 377 . . . . . . 7
116111, 115mpd 15 . . . . . 6
1176, 64, 72, 82, 1161arithlem4 14444 . . . . 5
118 cnvimass 5362 . . . . . . 7
119 fdm 5740 . . . . . . . . 9
12071, 119syl 16 . . . . . . . 8
121120, 87syl6eqss 3553 . . . . . . 7
122118, 121syl5ss 3514 . . . . . 6
12368simprbi 464 . . . . . 6
124 fimaxre2 10516 . . . . . 6
125122, 123, 124syl2anc 661 . . . . 5
126117, 125r19.29a 2999 . . . 4
127126rgen 2817 . . 3
128 dffo3 6046 . . 3
12944, 127, 128mpbir2an 920 . 2
130 df-f1o 5600 . 2
13163, 129, 130mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfl 11927   cexp 12166   cdvds 13986   cprime 14217   cpc 14360 This theorem is referenced by:  1arith2  14446  sqff1o  23456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
 Copyright terms: Public domain W3C validator