Theorem 1exp 12195

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9612	. . . 4
2	1	snid 4057	. . 3
3		ax-1ne0 9582	. . 3
4		ax-1cn 9571	. . . . 5
5		snssi 4174	. . . . 5
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4
7		elsni 4054	. . . . . 6
8		elsni 4054	. . . . . 6
9		oveq12 6305	. . . . . . 7
10		1t1e1 10708	. . . . . . 7
11	9, 10	syl6eq 2514	. . . . . 6
12	7, 8, 11	syl2an 477	. . . . 5
13		ovex 6324	. . . . . 6
14	13	elsnc 4053	. . . . 5
15	12, 14	sylibr 212	. . . 4
16	7	oveq2d 6312	. . . . . . 7
17		1div1e1 10262	. . . . . . 7
18	16, 17	syl6eq 2514	. . . . . 6
19		ovex 6324	. . . . . . 7
20	19	elsnc 4053	. . . . . 6
21	18, 20	sylibr 212	. . . . 5
22	21	adantr 465	. . . 4
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 12178	. . 3
24	2, 3, 23	mp3an12 1314	. 2
25		elsni 4054	. 2
26	24, 25	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  {csn 4029  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  cdiv 10231  cz 10889  cexp 12166

This theorem is referenced by:  exprec  12207  sq1  12262  iexpcyc  12272  faclbnd4lem1  12371  iseraltlem2  13505  iseraltlem3  13506  binom1p  13643  binom11  13644  esum  13816  ege2le3  13825  eirrlem  13937  odzdvds  14322  iblabsr  22236  iblmulc2  22237  abelthlem1  22826  abelthlem3  22828  abelthlem8  22834  abelthlem9  22835  ef2kpi  22871  root1cj  23130  cxpeq  23131  quart  23192  leibpi  23273  log2cnv  23275  mule1  23422  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem4  23627  lgseisen  23628  lgsquadlem1  23629  lgsquad2lem1  23633  m1lgs  23637  dchrisum0flblem1  23693  subfaclim  28632  iblmulc2nc  30080  expdioph  30965  lhe4.4ex1a  31234  fprodexp  31600  stoweidlem7  31789  stirlinglem5  31860  stirlinglem7  31862  stirlinglem10  31865  altgsumbc  32941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167