MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1fv Unicode version

Theorem 1fv 11821
Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 10900 . . . . . 6
2 f1osng 5859 . . . . . 6
31, 2mpan 670 . . . . 5
4 f1ofo 5828 . . . . . 6
5 dffo2 5804 . . . . . . 7
65biimpi 194 . . . . . 6
7 fzsn 11754 . . . . . . . . . . . . 13
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
98eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11
109feq2i 5729 . . . . . . . . . 10
1110biimpi 194 . . . . . . . . 9
12 snssi 4174 . . . . . . . . 9
13 fss 5744 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8
1514ex 434 . . . . . . 7
1615adantr 465 . . . . . 6
174, 6, 163syl 20 . . . . 5
183, 17mpcom 36 . . . 4
19 fvsng 6105 . . . . 5
201, 19mpan 670 . . . 4
2118, 20jca 532 . . 3
2221adantr 465 . 2
23 feq1 5718 . . . 4
24 fveq1 5870 . . . . 5
2524eqeq1d 2459 . . . 4
2623, 25anbi12d 710 . . 3
2726adantl 466 . 2
2822, 27mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  rancrn 5005  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cz 10889   cfz 11701
This theorem is referenced by:  0pthon1  24582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-neg 9831  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator