MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idpr Unicode version

Theorem 1idpr 9428
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1idpr

Proof of Theorem 1idpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2813 . . . . 5
2 19.42v 1775 . . . . . 6
3 elprnq 9390 . . . . . . . . . 10
4 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
5 df-1p 9381 . . . . . . . . . . . . 13
65abeq2i 2584 . . . . . . . . . . . 12
7 ltmnq 9371 . . . . . . . . . . . . 13
8 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . . . 14
98breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
107, 9bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12
116, 10syl5rbb 258 . . . . . . . . . . 11
124, 11sylan9bbr 700 . . . . . . . . . 10
133, 12sylan 471 . . . . . . . . 9
1413ex 434 . . . . . . . 8
1514pm5.32rd 640 . . . . . . 7
1615exbidv 1714 . . . . . 6
172, 16syl5rbbr 260 . . . . 5
181, 17syl5bb 257 . . . 4
1918rexbidva 2965 . . 3
20 1pr 9414 . . . 4
21 df-mp 9383 . . . . 5
22 mulclnq 9346 . . . . 5
2321, 22genpelv 9399 . . . 4
2420, 23mpan2 671 . . 3
25 prnmax 9394 . . . . . 6
26 ltrelnq 9325 . . . . . . . . . . 11
2726brel 5053 . . . . . . . . . 10
28 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
29 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
30 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
31 mulcomnq 9352 . . . . . . . . . . . . . 14
32 mulassnq 9358 . . . . . . . . . . . . . 14
3328, 29, 30, 31, 32caov12 6503 . . . . . . . . . . . . 13
34 recidnq 9364 . . . . . . . . . . . . . 14
3534oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 35syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12
37 mulidnq 9362 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11
3938eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
40 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
41 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
4340, 42spcev 3201 . . . . . . . . . 10
4427, 39, 433syl 20 . . . . . . . . 9
4544a1i 11 . . . . . . . 8
4645ancld 553 . . . . . . 7
4746reximia 2923 . . . . . 6
4825, 47syl 16 . . . . 5
4948ex 434 . . . 4
50 prcdnq 9392 . . . . . 6
5150adantrd 468 . . . . 5
5251rexlimdva 2949 . . . 4
5349, 52impbid 191 . . 3
5419, 24, 533bitr4d 285 . 2
5554eqrdv 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258   c1p 9259   cmp 9261
This theorem is referenced by:  m1m1sr  9491  1idsr  9496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-mp 9383
  Copyright terms: Public domain W3C validator