MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Unicode version

Theorem 1sdom 7742
Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7608.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . 2
2 rexeq 3055 . . 3
32rexeqbi1dv 3063 . 2
4 1onn 7307 . . . 4
5 sucdom 7735 . . . 4
64, 5ax-mp 5 . . 3
7 df-2o 7150 . . . 4
87breq1i 4459 . . 3
9 2dom 7608 . . . 4
10 df2o3 7162 . . . . 5
11 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
12 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
13 0ex 4582 . . . . . . . . . . . 12
144elexi 3119 . . . . . . . . . . . 12
1511, 12, 13, 14funpr 5644 . . . . . . . . . . 11
16 df-ne 2654 . . . . . . . . . . 11
17 1n0 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necomi 2727 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 14, 11, 12fpr 6079 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
21 df-f1 5598 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21mpbiran 918 . . . . . . . . . . . 12
2313, 11cnvsn 5496 . . . . . . . . . . . . . . 15
2414, 12cnvsn 5496 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24uneq12i 3655 . . . . . . . . . . . . . 14
26 df-pr 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726cnveqi 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cnvun 5416 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
30 df-pr 4032 . . . . . . . . . . . . . 14
3125, 29, 303eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . 13
3231funeqi 5613 . . . . . . . . . . . 12
3322, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11
3415, 16, 333imtr3i 265 . . . . . . . . . 10
35 prssi 4186 . . . . . . . . . 10
36 f1ss 5791 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . 9
38 prex 4694 . . . . . . . . . 10
39 f1eq1 5781 . . . . . . . . . 10
4038, 39spcev 3201 . . . . . . . . 9
4137, 40syl 16 . . . . . . . 8
42 vex 3112 . . . . . . . . 9
4342brdom 7548 . . . . . . . 8
4441, 43sylibr 212 . . . . . . 7
4544expcom 435 . . . . . 6
4645rexlimivv 2954 . . . . 5
4710, 46syl5eqbr 4485 . . . 4
489, 47impbii 188 . . 3
496, 8, 483bitr2i 273 . 2
501, 3, 49vtoclbg 3168 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035   class class class wbr 4452  succsuc 4885  `'ccnv 5003  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7746  frgpnabl  16879  isnzr2  17911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator