Theorem 1sdom 7742

Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7608.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1sdom

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem 1sdom

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4456	. 2
2		rexeq 3055	. . 3
3	2	rexeqbi1dv 3063	. 2
4		1onn 7307	. . . 4
5		sucdom 7735	. . . 4
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3
7		df-2o 7150	. . . 4
8	7	breq1i 4459	. . 3
9		2dom 7608	. . . 4
10		df2o3 7162	. . . . 5
11		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
12		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
13		0ex 4582	. . . . . . . . . . . 12
14	4	elexi 3119	. . . . . . . . . . . 12
15	11, 12, 13, 14	funpr 5644	. . . . . . . . . . 11
16		df-ne 2654	. . . . . . . . . . 11
17		1n0 7164	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	necomi 2727	. . . . . . . . . . . . . 14
19	13, 14, 11, 12	fpr 6079	. . . . . . . . . . . . . 14
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
21		df-f1 5598	. . . . . . . . . . . . 13
22	20, 21	mpbiran 918	. . . . . . . . . . . 12
23	13, 11	cnvsn 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	14, 12	cnvsn 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	uneq12i 3655	. . . . . . . . . . . . . 14
26		df-pr 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	26	cnveqi 5182	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		cnvun 5416	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	27, 28	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . 14
30		df-pr 4032	. . . . . . . . . . . . . 14
31	25, 29, 30	3eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	funeqi 5613	. . . . . . . . . . . 12
33	22, 32	bitr2i 250	. . . . . . . . . . 11
34	15, 16, 33	3imtr3i 265	. . . . . . . . . 10
35		prssi 4186	. . . . . . . . . 10
36		f1ss 5791	. . . . . . . . . 10
37	34, 35, 36	syl2an 477	. . . . . . . . 9
38		prex 4694	. . . . . . . . . 10
39		f1eq1 5781	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	spcev 3201	. . . . . . . . 9
41	37, 40	syl 16	. . . . . . . 8
42		vex 3112	. . . . . . . . 9
43	42	brdom 7548	. . . . . . . 8
44	41, 43	sylibr 212	. . . . . . 7
45	44	expcom 435	. . . . . 6
46	45	rexlimivv 2954	. . . . 5
47	10, 46	syl5eqbr 4485	. . . 4
48	9, 47	impbii 188	. . 3
49	6, 8, 48	3bitr2i 273	. 2
50	1, 3, 49	vtoclbg 3168	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035   class class class wbr 4452  succsuc 4885  `'ccnv 5003  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  com 6700  c1o 7142  c2o 7143  cdom 7534  csdm 7535

This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7746  frgpnabl  16879  isnzr2  17911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539