MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2val Unicode version

Theorem 1st2val 6826
Description: Value of an alternate definition of the function. (Contributed by NM, 14-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
1st2val
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem 1st2val
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elvv 5063 . . 3
2 fveq2 5871 . . . . . 6
3 df-ov 6299 . . . . . . 7
4 vex 3112 . . . . . . . 8
5 vex 3112 . . . . . . . 8
6 simpl 457 . . . . . . . . 9
7 mpt2v 6392 . . . . . . . . . 10
87eqcomi 2470 . . . . . . . . 9
96, 8, 4ovmpt2a 6433 . . . . . . . 8
104, 5, 9mp2an 672 . . . . . . 7
113, 10eqtr3i 2488 . . . . . 6
122, 11syl6eq 2514 . . . . 5
134, 5op1std 6810 . . . . 5
1412, 13eqtr4d 2501 . . . 4
1514exlimivv 1723 . . 3
161, 15sylbi 195 . 2
17 vex 3112 . . . . . . . . . 10
18 vex 3112 . . . . . . . . . 10
1917, 18pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
20 ax6ev 1749 . . . . . . . . 9
2119, 202th 239 . . . . . . . 8
2221opabbii 4516 . . . . . . 7
23 df-xp 5010 . . . . . . 7
24 dmoprab 6383 . . . . . . 7
2522, 23, 243eqtr4ri 2497 . . . . . 6
2625eleq2i 2535 . . . . 5
27 ndmfv 5895 . . . . 5
2826, 27sylnbir 307 . . . 4
29 dmsnn0 5478 . . . . . . . 8
3029biimpri 206 . . . . . . 7
3130necon1bi 2690 . . . . . 6
3231unieqd 4259 . . . . 5
33 uni0 4276 . . . . 5
3432, 33syl6eq 2514 . . . 4
3528, 34eqtr4d 2501 . . 3
36 1stval 6802 . . 3
3735, 36syl6eqr 2516 . 2
3816, 37pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  {copab 4509  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  {coprab 6297  e.cmpt2 6298   c1st 6798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator