Theorem 1stconst 6888

Description: The mapping of a restriction of the function to a constant function. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
1stconst

Proof of Theorem 1stconst

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnzg 4147	. . 3
2		fo1stres 6824	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		moeq 3275	. . . . . 6
5	4	moani 2346	. . . . 5
6		vex 3112	. . . . . . . 8
7	6	brres 5285	. . . . . . 7
8		fo1st 6820	. . . . . . . . . . 11
9		fofn 5802	. . . . . . . . . . 11
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
11		vex 3112	. . . . . . . . . 10
12		fnbrfvb 5913	. . . . . . . . . 10
13	10, 11, 12	mp2an 672	. . . . . . . . 9
14	13	anbi1i 695	. . . . . . . 8
15		elxp7 6833	. . . . . . . . . . 11
16		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	16	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14
18	17	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12
20		elsni 4054	. . . . . . . . . . . . . 14
21		eqopi 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	21	an12s 801	. . . . . . . . . . . . . 14
23	20, 22	sylanr2 653	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	adantrrl 723	. . . . . . . . . . . 12
25	19, 24	jca 532	. . . . . . . . . . 11
26	15, 25	sylan2b 475	. . . . . . . . . 10
27	26	adantl 466	. . . . . . . . 9
28		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
29	28	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
30		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12
31		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12
32		op1stg 6812	. . . . . . . . . . . 12
33	30, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
34	29, 33	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
35		snidg 4055	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
37		opelxpi 5036	. . . . . . . . . . . 12
38	30, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
39	28, 38	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10
40	34, 39	jca 532	. . . . . . . . 9
41	27, 40	impbida 832	. . . . . . . 8
42	14, 41	syl5bbr 259	. . . . . . 7
43	7, 42	syl5bb 257	. . . . . 6
44	43	mobidv 2305	. . . . 5
45	5, 44	mpbiri 233	. . . 4
46	45	alrimiv 1719	. . 3
47		funcnv2 5652	. . 3
48	46, 47	sylibr 212	. 2
49		dff1o3 5827	. 2
50	3, 48, 49	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  =/=wne 2652  cvv 3109  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem is referenced by:  curry2  6895  domss2  7696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801