MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stconst Unicode version

Theorem 1stconst 6888
Description: The mapping of a restriction of the function to a constant function. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
1stconst

Proof of Theorem 1stconst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnzg 4147 . . 3
2 fo1stres 6824 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 moeq 3275 . . . . . 6
54moani 2346 . . . . 5
6 vex 3112 . . . . . . . 8
76brres 5285 . . . . . . 7
8 fo1st 6820 . . . . . . . . . . 11
9 fofn 5802 . . . . . . . . . . 11
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
11 vex 3112 . . . . . . . . . 10
12 fnbrfvb 5913 . . . . . . . . . 10
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . . 9
1413anbi1i 695 . . . . . . . 8
15 elxp7 6833 . . . . . . . . . . 11
16 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
1817adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12
20 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . 14
21 eqopi 6834 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221an12s 801 . . . . . . . . . . . . . 14
2320, 22sylanr2 653 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantrrl 723 . . . . . . . . . . . 12
2519, 24jca 532 . . . . . . . . . . 11
2615, 25sylan2b 475 . . . . . . . . . 10
2726adantl 466 . . . . . . . . 9
28 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
2928fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
30 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
31 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
32 op1stg 6812 . . . . . . . . . . . 12
3330, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3429, 33eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
35 snidg 4055 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
37 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . 12
3830, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3928, 38eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
4034, 39jca 532 . . . . . . . . 9
4127, 40impbida 832 . . . . . . . 8
4214, 41syl5bbr 259 . . . . . . 7
437, 42syl5bb 257 . . . . . 6
4443mobidv 2305 . . . . 5
455, 44mpbiri 233 . . . 4
4645alrimiv 1719 . . 3
47 funcnv2 5652 . . 3
4846, 47sylibr 212 . 2
49 dff1o3 5827 . 2
503, 48, 49sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  curry2  6895  domss2  7696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator