MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2dom Unicode version

Theorem 2dom 7608
Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
2dom
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem 2dom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df2o2 7163 . . . 4
21breq1i 4459 . . 3
3 brdomi 7547 . . 3
42, 3sylbi 195 . 2
5 f1f 5786 . . . . 5
6 0ex 4582 . . . . . 6
76prid1 4138 . . . . 5
8 ffvelrn 6029 . . . . 5
95, 7, 8sylancl 662 . . . 4
10 p0ex 4639 . . . . . 6
1110prid2 4139 . . . . 5
12 ffvelrn 6029 . . . . 5
135, 11, 12sylancl 662 . . . 4
14 0nep0 4623 . . . . . 6
1514neii 2656 . . . . 5
16 f1fveq 6170 . . . . . 6
177, 11, 16mpanr12 685 . . . . 5
1815, 17mtbiri 303 . . . 4
19 eqeq1 2461 . . . . . 6
2019notbid 294 . . . . 5
21 eqeq2 2472 . . . . . 6
2221notbid 294 . . . . 5
2320, 22rspc2ev 3221 . . . 4
249, 13, 18, 23syl3anc 1228 . . 3
2524exlimiv 1722 . 2
264, 25syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031   class class class wbr 4452  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593   c2o 7143   cdom 7534
This theorem is referenced by:  1sdom  7742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601  df-1o 7149  df-2o 7150  df-dom 7538
  Copyright terms: Public domain W3C validator