Theorem 2elresin 5697

Description: Membership in two functions restricted by each other's domain. (Contributed by NM, 8-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
2elresin

Proof of Theorem 2elresin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnop 5689	. . . . . . . 8
2		fnop 5689	. . . . . . . 8
3	1, 2	anim12i 566	. . . . . . 7
4	3	an4s 826	. . . . . 6
5		elin 3686	. . . . . 6
6	4, 5	sylibr 212	. . . . 5
7		vex 3112	. . . . . . . 8
8	7	opres 5288	. . . . . . 7
9		vex 3112	. . . . . . . 8
10	9	opres 5288	. . . . . . 7
11	8, 10	anbi12d 710	. . . . . 6
12	11	biimprd 223	. . . . 5
13	6, 12	syl 16	. . . 4
14	13	ex 434	. . 3
15	14	pm2.43d 48	. 2
16		resss 5302	. . . 4
17	16	sseli 3499	. . 3
18		resss 5302	. . . 4
19	18	sseli 3499	. . 3
20	17, 19	anim12i 566	. 2
21	15, 20	impbid1 203	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  i^icin 3474  <.cop 4035  |`cres 5006  Fnwfn 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-dm 5014  df-res 5016  df-fun 5595  df-fn 5596