MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndconst Unicode version

Theorem 2ndconst 6889
Description: The mapping of a restriction of the function to a converse constant function. (Contributed by NM, 27-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
2ndconst

Proof of Theorem 2ndconst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnzg 4147 . . 3
2 fo2ndres 6825 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 moeq 3275 . . . . . 6
54moani 2346 . . . . 5
6 vex 3112 . . . . . . . 8
76brres 5285 . . . . . . 7
8 fo2nd 6821 . . . . . . . . . . 11
9 fofn 5802 . . . . . . . . . . 11
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
11 vex 3112 . . . . . . . . . 10
12 fnbrfvb 5913 . . . . . . . . . 10
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . . 9
1413anbi1i 695 . . . . . . . 8
15 elxp7 6833 . . . . . . . . . . 11
16 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
1817adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12
20 elsni 4054 . . . . . . . . . . . . . 14
21 eqopi 6834 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221ancom2s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322an12s 801 . . . . . . . . . . . . . 14
2420, 23sylanr2 653 . . . . . . . . . . . . 13
2524adantrrr 724 . . . . . . . . . . . 12
2619, 25jca 532 . . . . . . . . . . 11
2715, 26sylan2b 475 . . . . . . . . . 10
2827adantl 466 . . . . . . . . 9
29 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
30 op2ndg 6813 . . . . . . . . . . . . 13
316, 30mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
3229, 31sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11
3332adantrl 715 . . . . . . . . . 10
34 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
35 snidg 4055 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
37 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
38 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . 12
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
4034, 39eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
4133, 40jca 532 . . . . . . . . 9
4228, 41impbida 832 . . . . . . . 8
4314, 42syl5bbr 259 . . . . . . 7
447, 43syl5bb 257 . . . . . 6
4544mobidv 2305 . . . . 5
465, 45mpbiri 233 . . . 4
4746alrimiv 1719 . . 3
48 funcnv2 5652 . . 3
4947, 48sylibr 212 . 2
50 dff1o3 5827 . 2
513, 49, 50sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  curry1  6892  xpfi  7811  fsum2dlem  13585  fprod2dlem  13784  gsum2dlem2  16998  gsum2dOLD  17000  ovoliunlem1  21913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator