Theorem 2swrdeqwrdeq 12678

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2swrdeqwrdeq

Proof of Theorem 2swrdeqwrdeq

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 12582	. . 3
2	1	3adant3 1016	. 2
3		elfzofz 11843	. . . . . . . . 9
4		fzosplit 11858	. . . . . . . . 9
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . 8
6	5	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7
7	6	adantr 465	. . . . . 6
8	7	raleqdv 3060	. . . . 5
9		ralunb 3684	. . . . 5
10	8, 9	syl6bb 261	. . . 4
11		3simpa 993	. . . . . . 7
12	11	adantr 465	. . . . . 6
13		elfzonn0 11867	. . . . . . . . 9
14	13	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8
15	14	adantr 465	. . . . . . 7
16		0nn0 10835	. . . . . . 7
17	15, 16	jctil 537	. . . . . 6
18		elfzo0le 11866	. . . . . . . 8
19	18	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7
20	19	adantr 465	. . . . . 6
21		breq2 4456	. . . . . . . 8
22	21	adantl 466	. . . . . . 7
23	20, 22	mpbid 210	. . . . . 6
24		swrdspsleq 12673	. . . . . . 7
25	24	bicomd 201	. . . . . 6
26	12, 17, 20, 23, 25	syl112anc 1232	. . . . 5
27		lencl 12562	. . . . . . . . 9
28	27	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8
29	14, 28	jca 532	. . . . . . 7
30	29	adantr 465	. . . . . 6
31		nn0re 10829	. . . . . . . . . 10
32	31	leidd 10144	. . . . . . . . 9
33	27, 32	syl 16	. . . . . . . 8
34	33	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7
35	34	adantr 465	. . . . . 6
36		breq2 4456	. . . . . . . 8
37	36	adantl 466	. . . . . . 7
38	35, 37	mpbid 210	. . . . . 6
39		swrdspsleq 12673	. . . . . . 7
40	39	bicomd 201	. . . . . 6
41	12, 30, 35, 38, 40	syl112anc 1232	. . . . 5
42	26, 41	anbi12d 710	. . . 4
43	10, 42	bitrd 253	. . 3
44	43	pm5.32da 641	. 2
45	2, 44	bitrd 253	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  cle 9650  cn0 10820  cfz 11701  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  csubstr 12538

This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  12679  2swrd2eqwrdeq  12891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-substr 12546