MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvds Unicode version

Theorem 3dvds 14050
Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
3dvds
Distinct variable groups:   ,   ,N

Proof of Theorem 3dvds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 10922 . . 3
21a1i 11 . 2
3 fzfid 12083 . . 3
4 ffvelrn 6029 . . . . 5
54adantll 713 . . . 4
6 10nn 10726 . . . . . 6
76nnzi 10913 . . . . 5
8 elfznn0 11800 . . . . . 6
98adantl 466 . . . . 5
10 zexpcl 12181 . . . . 5
117, 9, 10sylancr 663 . . . 4
125, 11zmulcld 11000 . . 3
133, 12fsumzcl 13557 . 2
143, 5fsumzcl 13557 . 2
1512, 5zsubcld 10999 . . . 4
16 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
176nncni 10571 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17negsubdi2i 9929 . . . . . . . . . . 11
19 df-10 10627 . . . . . . . . . . . 12
2019oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11
21 9cn 10648 . . . . . . . . . . . 12
2221, 16pncan3oi 9859 . . . . . . . . . . 11
2318, 20, 223eqtri 2490 . . . . . . . . . 10
24 3t3e9 10713 . . . . . . . . . 10
2523, 24eqtr4i 2489 . . . . . . . . 9
2617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 1re 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 1lt10 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2927, 28gtneii 9717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
3226, 30, 31geoser 13678 . . . . . . . . . . . . . 14
33 fzfid 12083 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 zexpcl 12181 . . . . . . . . . . . . . . . 16
377, 35, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
3833, 37fsumzcl 13557 . . . . . . . . . . . . . 14
3932, 38eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . 13
40 1z 10919 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4240, 7, 41mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4427, 28ltneii 9718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4516, 17subeq0i 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645necon3bii 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4744, 46mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
497, 31, 10sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15
5140, 49, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
52 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . . . . . 14
5343, 48, 51, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
5439, 53mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
5549zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
56 negsubdi2 9901 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 16, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
5854, 57breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . 11
59 peano2zm 10932 . . . . . . . . . . . . 13
6049, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12
61 dvdsnegb 14001 . . . . . . . . . . . 12
6242, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
6358, 62mpbird 232 . . . . . . . . . 10
64 negdvdsb 14000 . . . . . . . . . . 11
6542, 60, 64sylancr 663 . . . . . . . . . 10
6663, 65mpbid 210 . . . . . . . . 9
6725, 66syl5eqbrr 4486 . . . . . . . 8
681a1i 11 . . . . . . . . 9
69 muldvds1 14008 . . . . . . . . 9
7068, 68, 60, 69syl3anc 1228 . . . . . . . 8
7167, 70mpd 15 . . . . . . 7
729, 71syl 16 . . . . . 6
731a1i 11 . . . . . . 7
7411, 59syl 16 . . . . . . 7
75 dvdsmultr2 14021 . . . . . . 7
7673, 5, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . 6
7772, 76mpd 15 . . . . 5
785zcnd 10995 . . . . . . 7
7911zcnd 10995 . . . . . . 7
8016a1i 11 . . . . . . 7
8178, 79, 80subdid 10037 . . . . . 6
8278mulid1d 9634 . . . . . . 7
8382oveq2d 6312 . . . . . 6
8481, 83eqtrd 2498 . . . . 5
8577, 84breqtrd 4476 . . . 4
863, 2, 15, 85fsumdvds 14029 . . 3
8712zcnd 10995 . . . 4
883, 87, 78fsumsub 13603 . . 3
8986, 88breqtrd 4476 . 2
90 dvdssub2 14023 . 2
912, 13, 14, 89, 90syl31anc 1231 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  3c3 10611  9c9 10617   c10 10618   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cexp 12166  sum_csu 13508   cdvds 13986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator