Theorem 4sqlem10 14465

Description: Lemma for 4sq 14482. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2
4sqlem5.3
4sqlem5.4
4sqlem10.5

Assertion

Ref	Expression
4sqlem10

Proof of Theorem 4sqlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . . . . . 11
2	1	adantr 465	. . . . . . . . . 10
3		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16
4	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
5	4	nnred 10576	. . . . . . . . . . . . . 14
6	5	rehalfcld 10810	. . . . . . . . . . . . 13
7	6	recnd 9643	. . . . . . . . . . . 12
8	7	negnegd 9945	. . . . . . . . . . 11
9		4sqlem5.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10	1, 3, 9	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12	11	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	12	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	1, 3, 9	4sqlem6 14461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	15	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	13, 16	ltned 9742	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	neneqd 2659	. . . . . . . . . . . . . 14
19		2cnd 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20	19	sqvald 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	4	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23		2ne0 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	22, 19, 24	sqdivd 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	22	sqcld 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26, 19, 19, 24, 24	divdiv1d 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	26	halfcld 10808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30	29	halfcld 10808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	12	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32	31	sqcld 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33		4sqlem10.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	30, 32, 33	subeq0d 9962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	28, 34	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36		sqeqor 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	31, 7, 36	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	35, 37	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	38	ord 377	. . . . . . . . . . . . . 14
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13
41	40, 12	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . 12
42	41	znegcld 10996	. . . . . . . . . . 11
43	8, 42	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . 10
44	2, 43	zaddcld 10998	. . . . . . . . 9
45	44	zred 10994	. . . . . . . 8
46	4	nnrpd 11284	. . . . . . . 8
47	45, 46	modcld 12002	. . . . . . 7
48	47	recnd 9643	. . . . . 6
49		0cnd 9610	. . . . . 6
50		df-neg 9831	. . . . . . 7
51	40, 9, 50	3eqtr3g 2521	. . . . . 6
52	48, 49, 7, 51	subcan2d 9996	. . . . 5
53		dvdsval3 13990	. . . . . 6
54	4, 44, 53	syl2anc 661	. . . . 5
55	52, 54	mpbird 232	. . . 4
56	4	nnzd 10993	. . . . 5
57		dvdssq 14198	. . . . 5
58	56, 44, 57	syl2anc 661	. . . 4
59	55, 58	mpbid 210	. . 3
60	22	sqvald 12307	. . . 4
61	4	nnne0d 10605	. . . . . 6
62		dvdsmulcr 14013	. . . . . 6
63	56, 44, 56, 61, 62	syl112anc 1232	. . . . 5
64	55, 63	mpbird 232	. . . 4
65	60, 64	eqbrtrd 4472	. . 3
66		zsqcl 12238	. . . . 5
67	56, 66	syl 16	. . . 4
68		zsqcl 12238	. . . . 5
69	44, 68	syl 16	. . . 4
70	44, 56	zmulcld 11000	. . . 4
71		dvds2sub 14016	. . . 4
72	67, 69, 70, 71	syl3anc 1228	. . 3
73	59, 65, 72	mp2and 679	. 2
74	44	zcnd 10995	. . . . 5
75	74	sqvald 12307	. . . 4
76	75	oveq1d 6311	. . 3
77	74, 74, 22	subdid 10037	. . 3
78	22	2halvesd 10809	. . . . . . 7
79	78	oveq2d 6312	. . . . . 6
80	2	zcnd 10995	. . . . . . 7
81	80, 7, 7	pnpcan2d 9992	. . . . . 6
82	79, 81	eqtr3d 2500	. . . . 5
83	82	oveq2d 6312	. . . 4
84		subsq 12275	. . . . 5
85	80, 7, 84	syl2anc 661	. . . 4
86	28	oveq2d 6312	. . . 4
87	83, 85, 86	3eqtr2d 2504	. . 3
88	76, 77, 87	3eqtr2d 2504	. 2
89	73, 88	breqtrd 4476	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cz 10889  cmo 11996  cexp 12166  cdvds 13986

This theorem is referenced by:  4sqlem16  14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145