Theorem 4sqlem14 14476

Description: Lemma for 4sq 14482. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sq.5
4sq.6
4sq.7
4sq.m
4sq.a
4sq.b
4sq.c
4sq.d
4sq.e
4sq.f
4sq.g
4sq.h
4sq.r
4sq.p

Assertion

Ref	Expression
4sqlem14

Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,M   ,N   P,,   ,   S,,   ,

Proof of Theorem 4sqlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2
2		4sq.6	. . . . . . . . . 10
3		ssrab2 3584	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	eqsstri 3533	. . . . . . . . 9
5		4sq.7	. . . . . . . . . 10
6		nnuz 11145	. . . . . . . . . . . 12
7	4, 6	sseqtri 3535	. . . . . . . . . . 11
8		4sq.1	. . . . . . . . . . . . 13
9		4sq.2	. . . . . . . . . . . . 13
10		4sq.3	. . . . . . . . . . . . 13
11		4sq.4	. . . . . . . . . . . . 13
12		4sq.5	. . . . . . . . . . . . 13
13	8, 9, 10, 11, 12, 2, 5	4sqlem13 14475	. . . . . . . . . . . 12
14	13	simpld 459	. . . . . . . . . . 11
15		infmssuzcl 11194	. . . . . . . . . . 11
16	7, 14, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
17	5, 16	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9
18	4, 17	sseldi 3501	. . . . . . . 8
19	18	nnzd 10993	. . . . . . 7
20		prmz 14221	. . . . . . . 8
21	11, 20	syl 16	. . . . . . 7
22		dvdsmul1 14005	. . . . . . 7
23	19, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . 6
24		4sq.a	. . . . . . . . . . 11
25		4sq.e	. . . . . . . . . . 11
26	24, 18, 25	4sqlem8 14463	. . . . . . . . . 10
27		4sq.b	. . . . . . . . . . 11
28		4sq.f	. . . . . . . . . . 11
29	27, 18, 28	4sqlem8 14463	. . . . . . . . . 10
30		zsqcl 12238	. . . . . . . . . . . . 13
31	24, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
32	24, 18, 25	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14
34		zsqcl2 12245	. . . . . . . . . . . . . 14
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
37	31, 36	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . 11
38		zsqcl 12238	. . . . . . . . . . . . 13
39	27, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
40	27, 18, 28	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14
42		zsqcl2 12245	. . . . . . . . . . . . . 14
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
45	39, 44	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . 11
46		dvds2add 14015	. . . . . . . . . . 11
47	19, 37, 45, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
48	26, 29, 47	mp2and 679	. . . . . . . . 9
49	24	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
50	49	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
51	27	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
52	51	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
53	33	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
54	53	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
55	41	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
56	55	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
57	50, 52, 54, 56	addsub4d 10001	. . . . . . . . 9
58	48, 57	breqtrrd 4478	. . . . . . . 8
59		4sq.c	. . . . . . . . . . 11
60		4sq.g	. . . . . . . . . . 11
61	59, 18, 60	4sqlem8 14463	. . . . . . . . . 10
62		4sq.d	. . . . . . . . . . 11
63		4sq.h	. . . . . . . . . . 11
64	62, 18, 63	4sqlem8 14463	. . . . . . . . . 10
65		zsqcl 12238	. . . . . . . . . . . . 13
66	59, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
67	59, 18, 60	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	67	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14
69		zsqcl2 12245	. . . . . . . . . . . . . 14
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
72	66, 71	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . 11
73		zsqcl 12238	. . . . . . . . . . . . 13
74	62, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
75	62, 18, 63	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14
77		zsqcl2 12245	. . . . . . . . . . . . . 14
78	76, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
79	78	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
80	74, 79	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . 11
81		dvds2add 14015	. . . . . . . . . . 11
82	19, 72, 80, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
83	61, 64, 82	mp2and 679	. . . . . . . . 9
84	59	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
85	84	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
86	62	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
87	86	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
88	68	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
89	88	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
90	76	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
91	90	sqcld 12308	. . . . . . . . . 10
92	85, 87, 89, 91	addsub4d 10001	. . . . . . . . 9
93	83, 92	breqtrrd 4478	. . . . . . . 8
94	31, 39	zaddcld 10998	. . . . . . . . . 10
95	35, 43	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . . 11
96	95	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
97	94, 96	zsubcld 10999	. . . . . . . . 9
98	66, 74	zaddcld 10998	. . . . . . . . . 10
99	70, 78	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . . 11
100	99	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
101	98, 100	zsubcld 10999	. . . . . . . . 9
102		dvds2add 14015	. . . . . . . . 9
103	19, 97, 101, 102	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
104	58, 93, 103	mp2and 679	. . . . . . 7
105		4sq.p	. . . . . . . . 9
106	105	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
107	50, 52	addcld 9636	. . . . . . . . 9
108	85, 87	addcld 9636	. . . . . . . . 9
109	54, 56	addcld 9636	. . . . . . . . 9
110	89, 91	addcld 9636	. . . . . . . . 9
111	107, 108, 109, 110	addsub4d 10001	. . . . . . . 8
112	106, 111	eqtrd 2498	. . . . . . 7
113	104, 112	breqtrrd 4478	. . . . . 6
114	19, 21	zmulcld 11000	. . . . . . 7
115	96, 100	zaddcld 10998	. . . . . . . 8
116	114, 115	zsubcld 10999	. . . . . . 7
117		dvds2sub 14016	. . . . . . 7
118	19, 114, 116, 117	syl3anc 1228	. . . . . 6
119	23, 113, 118	mp2and 679	. . . . 5
120	18	nncnd 10577	. . . . . . 7
121		prmnn 14220	. . . . . . . . 9
122	11, 121	syl 16	. . . . . . . 8
123	122	nncnd 10577	. . . . . . 7
124	120, 123	mulcld 9637	. . . . . 6
125	109, 110	addcld 9636	. . . . . 6
126	124, 125	nncand 9959	. . . . 5
127	119, 126	breqtrd 4476	. . . 4
128	18	nnne0d 10605	. . . . 5
129	95, 99	nn0addcld 10881	. . . . . 6
130	129	nn0zd 10992	. . . . 5
131		dvdsval2 13989	. . . . 5
132	19, 128, 130, 131	syl3anc 1228	. . . 4
133	127, 132	mpbid 210	. . 3
134	129	nn0red 10878	. . . 4
135	129	nn0ge0d 10880	. . . 4
136	18	nnred 10576	. . . 4
137	18	nngt0d 10604	. . . 4
138		divge0 10436	. . . 4
139	134, 135, 136, 137, 138	syl22anc 1229	. . 3
140		elnn0z 10902	. . 3
141	133, 139, 140	sylanbrc 664	. 2
142	1, 141	syl5eqel 2549	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cmo 11996  cexp 12166  cdvds 13986  cprime 14217

This theorem is referenced by:  4sqlem17  14479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-gz 14448