Theorem 4sqlem15 14477

Description: Lemma for 4sq 14482. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sq.5
4sq.6
4sq.7
4sq.m
4sq.a
4sq.b
4sq.c
4sq.d
4sq.e
4sq.f
4sq.g
4sq.h
4sq.r
4sq.p

Assertion

Ref	Expression
4sqlem15

Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,M   ,N   P,,   ,   S,,   ,

Proof of Theorem 4sqlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13
2		eluz2nn 11148	. . . . . . . . . . . . 13
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
4	3	nnred 10576	. . . . . . . . . . 11
5	4	resqcld 12336	. . . . . . . . . 10
6	5	rehalfcld 10810	. . . . . . . . 9
7	6	rehalfcld 10810	. . . . . . . 8
8	7	recnd 9643	. . . . . . 7
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 3, 10	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . 11
12	11	simpld 459	. . . . . . . . . 10
13		zsqcl 12238	. . . . . . . . . 10
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9
15	14	zred 10994	. . . . . . . 8
16	15	recnd 9643	. . . . . . 7
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12
19	17, 3, 18	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . 11
20	19	simpld 459	. . . . . . . . . 10
21		zsqcl 12238	. . . . . . . . . 10
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . 9
23	22	zred 10994	. . . . . . . 8
24	23	recnd 9643	. . . . . . 7
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 10001	. . . . . 6
26	6	recnd 9643	. . . . . . . 8
27	26	2halvesd 10809	. . . . . . 7
28	27	oveq1d 6311	. . . . . 6
29	25, 28	eqtr3d 2500	. . . . 5
30	29	adantr 465	. . . 4
31	5	recnd 9643	. . . . . . . . . 10
32	31	2halvesd 10809	. . . . . . . . 9
33	32	adantr 465	. . . . . . . 8
34	4	recnd 9643	. . . . . . . . . . 11
35	34	sqvald 12307	. . . . . . . . . 10
36	35	adantr 465	. . . . . . . . 9
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11
38		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
39	37, 38	syl5eqr 2512	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9
41	15, 23	readdcld 9644	. . . . . . . . . . . . 13
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44	42, 3, 43	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	44	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46		zsqcl 12238	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	49, 3, 50	4sqlem5 14460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	51	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53		zsqcl 12238	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	54	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . 14
56	48, 55	readdcld 9644	. . . . . . . . . . . . 13
57	41, 56	readdcld 9644	. . . . . . . . . . . 12
58	57	recnd 9643	. . . . . . . . . . 11
59	3	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . 11
60	58, 34, 59	divcan1d 10346	. . . . . . . . . 10
61	60	adantr 465	. . . . . . . . 9
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2505	. . . . . . . 8
63	33, 62	oveq12d 6314	. . . . . . 7
64	41	recnd 9643	. . . . . . . . 9
65	56	recnd 9643	. . . . . . . . 9
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 10001	. . . . . . . 8
67	66	adantr 465	. . . . . . 7
68	31	subidd 9942	. . . . . . . 8
69	68	adantr 465	. . . . . . 7
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2506	. . . . . 6
71	6, 41	resubcld 10012	. . . . . . . 8
72	9, 3, 10	4sqlem7 14462	. . . . . . . . . . 11
73	17, 3, 18	4sqlem7 14462	. . . . . . . . . . 11
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 10195	. . . . . . . . . 10
75	74, 27	breqtrd 4476	. . . . . . . . 9
76	6, 41	subge0d 10167	. . . . . . . . 9
77	75, 76	mpbird 232	. . . . . . . 8
78	6, 56	resubcld 10012	. . . . . . . 8
79	42, 3, 43	4sqlem7 14462	. . . . . . . . . . 11
80	49, 3, 50	4sqlem7 14462	. . . . . . . . . . 11
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 10195	. . . . . . . . . 10
82	81, 27	breqtrd 4476	. . . . . . . . 9
83	6, 56	subge0d 10167	. . . . . . . . 9
84	82, 83	mpbird 232	. . . . . . . 8
85		add20 10089	. . . . . . . 8
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 1229	. . . . . . 7
87	86	biimpa 484	. . . . . 6
88	70, 87	syldan 470	. . . . 5
89	88	simpld 459	. . . 4
90	30, 89	eqtrd 2498	. . 3
91	7, 15	resubcld 10012	. . . . 5
92	7, 15	subge0d 10167	. . . . . 6
93	72, 92	mpbird 232	. . . . 5
94	7, 23	resubcld 10012	. . . . 5
95	7, 23	subge0d 10167	. . . . . 6
96	73, 95	mpbird 232	. . . . 5
97		add20 10089	. . . . 5
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 1229	. . . 4
99	98	biimpa 484	. . 3
100	90, 99	syldan 470	. 2
101	48	recnd 9643	. . . . . . 7
102	55	recnd 9643	. . . . . . 7
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 10001	. . . . . 6
104	27	oveq1d 6311	. . . . . 6
105	103, 104	eqtr3d 2500	. . . . 5
106	105	adantr 465	. . . 4
107	88	simprd 463	. . . 4
108	106, 107	eqtrd 2498	. . 3
109	7, 48	resubcld 10012	. . . . 5
110	7, 48	subge0d 10167	. . . . . 6
111	79, 110	mpbird 232	. . . . 5
112	7, 55	resubcld 10012	. . . . 5
113	7, 55	subge0d 10167	. . . . . 6
114	80, 113	mpbird 232	. . . . 5
115		add20 10089	. . . . 5
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 1229	. . . 4
117	116	biimpa 484	. . 3
118	108, 117	syldan 470	. 2
119	100, 118	jca 532	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cmo 11996  cexp 12166  cprime 14217

This theorem is referenced by:  4sqlem16  14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069