MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem15 Unicode version

Theorem 4sqlem15 14477
Description: Lemma for 4sq 14482. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sq.5
4sq.6
4sq.7
4sq.m
4sq.a
4sq.b
4sq.c
4sq.d
4sq.e
4sq.f
4sq.g
4sq.h
4sq.r
4sq.p
Assertion
Ref Expression
4sqlem15
Distinct variable groups:   , , , ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , ,M   ,N   P, ,   ,   S, ,   ,

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13
2 eluz2nn 11148 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12
43nnred 10576 . . . . . . . . . . 11
54resqcld 12336 . . . . . . . . . 10
65rehalfcld 10810 . . . . . . . . 9
76rehalfcld 10810 . . . . . . . 8
87recnd 9643 . . . . . . 7
9 4sq.a . . . . . . . . . . . 12
10 4sq.e . . . . . . . . . . . 12
119, 3, 104sqlem5 14460 . . . . . . . . . . 11
1211simpld 459 . . . . . . . . . 10
13 zsqcl 12238 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9
1514zred 10994 . . . . . . . 8
1615recnd 9643 . . . . . . 7
17 4sq.b . . . . . . . . . . . 12
18 4sq.f . . . . . . . . . . . 12
1917, 3, 184sqlem5 14460 . . . . . . . . . . 11
2019simpld 459 . . . . . . . . . 10
21 zsqcl 12238 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
2322zred 10994 . . . . . . . 8
2423recnd 9643 . . . . . . 7
258, 8, 16, 24addsub4d 10001 . . . . . 6
266recnd 9643 . . . . . . . 8
27262halvesd 10809 . . . . . . 7
2827oveq1d 6311 . . . . . 6
2925, 28eqtr3d 2500 . . . . 5
3029adantr 465 . . . 4
315recnd 9643 . . . . . . . . . 10
32312halvesd 10809 . . . . . . . . 9
3332adantr 465 . . . . . . . 8
344recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
3534sqvald 12307 . . . . . . . . . 10
3635adantr 465 . . . . . . . . 9
37 4sq.r . . . . . . . . . . 11
38 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10
4039oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
4115, 23readdcld 9644 . . . . . . . . . . . . 13
42 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4442, 3, 434sqlem5 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 zsqcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847zred 10994 . . . . . . . . . . . . . 14
49 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5149, 3, 504sqlem5 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 zsqcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554zred 10994 . . . . . . . . . . . . . 14
5648, 55readdcld 9644 . . . . . . . . . . . . 13
5741, 56readdcld 9644 . . . . . . . . . . . 12
5857recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
593nnne0d 10605 . . . . . . . . . . 11
6058, 34, 59divcan1d 10346 . . . . . . . . . 10
6160adantr 465 . . . . . . . . 9
6236, 40, 613eqtr2rd 2505 . . . . . . . 8
6333, 62oveq12d 6314 . . . . . . 7
6441recnd 9643 . . . . . . . . 9
6556recnd 9643 . . . . . . . . 9
6626, 26, 64, 65addsub4d 10001 . . . . . . . 8
6766adantr 465 . . . . . . 7
6831subidd 9942 . . . . . . . 8
6968adantr 465 . . . . . . 7
7063, 67, 693eqtr3d 2506 . . . . . 6
716, 41resubcld 10012 . . . . . . . 8
729, 3, 104sqlem7 14462 . . . . . . . . . . 11
7317, 3, 184sqlem7 14462 . . . . . . . . . . 11
7415, 23, 7, 7, 72, 73le2addd 10195 . . . . . . . . . 10
7574, 27breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
766, 41subge0d 10167 . . . . . . . . 9
7775, 76mpbird 232 . . . . . . . 8
786, 56resubcld 10012 . . . . . . . 8
7942, 3, 434sqlem7 14462 . . . . . . . . . . 11
8049, 3, 504sqlem7 14462 . . . . . . . . . . 11
8148, 55, 7, 7, 79, 80le2addd 10195 . . . . . . . . . 10
8281, 27breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
836, 56subge0d 10167 . . . . . . . . 9
8482, 83mpbird 232 . . . . . . . 8
85 add20 10089 . . . . . . . 8
8671, 77, 78, 84, 85syl22anc 1229 . . . . . . 7
8786biimpa 484 . . . . . 6
8870, 87syldan 470 . . . . 5
8988simpld 459 . . . 4
9030, 89eqtrd 2498 . . 3
917, 15resubcld 10012 . . . . 5
927, 15subge0d 10167 . . . . . 6
9372, 92mpbird 232 . . . . 5
947, 23resubcld 10012 . . . . 5
957, 23subge0d 10167 . . . . . 6
9673, 95mpbird 232 . . . . 5
97 add20 10089 . . . . 5
9891, 93, 94, 96, 97syl22anc 1229 . . . 4
9998biimpa 484 . . 3
10090, 99syldan 470 . 2
10148recnd 9643 . . . . . . 7
10255recnd 9643 . . . . . . 7
1038, 8, 101, 102addsub4d 10001 . . . . . 6
10427oveq1d 6311 . . . . . 6
105103, 104eqtr3d 2500 . . . . 5
106105adantr 465 . . . 4
10788simprd 463 . . . 4
108106, 107eqtrd 2498 . . 3
1097, 48resubcld 10012 . . . . 5
1107, 48subge0d 10167 . . . . . 6
11179, 110mpbird 232 . . . . 5
1127, 55resubcld 10012 . . . . 5
1137, 55subge0d 10167 . . . . . 6
11480, 113mpbird 232 . . . . 5
115 add20 10089 . . . . 5
116109, 111, 112, 114, 115syl22anc 1229 . . . 4
117116biimpa 484 . . 3
118108, 117syldan 470 . 2
119100, 118jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cmo 11996   cexp 12166   cprime 14217
This theorem is referenced by:  4sqlem16  14478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator