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Theorem 4sqlem17 14479
Description: Lemma for 4sq 14482. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sq.5
4sq.6
4sq.7
4sq.m
4sq.a
4sq.b
4sq.c
4sq.d
4sq.e
4sq.f
4sq.g
4sq.h
4sq.r
4sq.p
Assertion
Ref Expression
4sqlem17
Distinct variable groups:   , , , ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , ,M   ,N   P, ,   ,   S, ,   ,

Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7
2 4sq.2 . . . . . . 7
3 4sq.3 . . . . . . 7
4 4sq.4 . . . . . . 7
5 4sq.5 . . . . . . 7
6 4sq.6 . . . . . . 7
7 4sq.7 . . . . . . 7
8 4sq.m . . . . . . 7
9 4sq.a . . . . . . 7
10 4sq.b . . . . . . 7
11 4sq.c . . . . . . 7
12 4sq.d . . . . . . 7
13 4sq.e . . . . . . 7
14 4sq.f . . . . . . 7
15 4sq.g . . . . . . 7
16 4sq.h . . . . . . 7
17 4sq.r . . . . . . 7
18 4sq.p . . . . . . 7
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 14478 . . . . . 6
2019simpld 459 . . . . 5
21 ssrab2 3584 . . . . . . . . 9
226, 21eqsstri 3533 . . . . . . . 8
23 nnuz 11145 . . . . . . . 8
2422, 23sseqtri 3535 . . . . . . 7
251, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 14475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 infmssuzcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15
2824, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
297, 28syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13
3022, 29sseldi 3501 . . . . . . . . . . . 12
3130nnred 10576 . . . . . . . . . . 11
3225simprd 463 . . . . . . . . . . 11
3331, 32ltned 9742 . . . . . . . . . 10
3430nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
3534sqvald 12307 . . . . . . . . . . . . 13
3635breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
3730nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . 13
38 prmz 14221 . . . . . . . . . . . . . 14
394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4030nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . 13
41 dvdscmulr 14012 . . . . . . . . . . . . 13
4237, 39, 37, 40, 41syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12
43 dvdsprm 14240 . . . . . . . . . . . . 13
448, 4, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4536, 42, 443bitrd 279 . . . . . . . . . . 11
4645necon3bbid 2704 . . . . . . . . . 10
4733, 46mpbird 232 . . . . . . . . 9
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 14476 . . . . . . . . . . . 12
49 elnn0 10822 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49sylib 196 . . . . . . . . . . 11
5150ord 377 . . . . . . . . . 10
52 orc 385 . . . . . . . . . . 11
5319simprd 463 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl5 32 . . . . . . . . . 10
5551, 54syld 44 . . . . . . . . 9
5647, 55mt3d 125 . . . . . . . 8
57 gzreim 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
589, 10, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 gzcn 14450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160absvalsq2d 13274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
629zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6310zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6462, 63crred 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6662, 63crimd 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6961, 68eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 gzreim 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7111, 12, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 gzcn 14450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473absvalsq2d 13274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7511zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7612zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7775, 76crred 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7975, 76crimd 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8178, 80oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8274, 81eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
8369, 82oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
8418, 83eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
8584oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
86 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . . . . 15
874, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8887nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . 13
8988, 34, 40divcan3d 10350 . . . . . . . . . . . 12
9085, 89eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11
919, 30, 134sqlem5 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9310, 30, 144sqlem5 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9493simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 gzreim 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
97 gzcn 14450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998absvalsq2d 13274 . . . . . . . . . . . . . . 15
10092zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10194zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102100, 101crred 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104100, 101crimd 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106103, 105oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15
10799, 106eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
10811, 30, 154sqlem5 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109108simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11012, 30, 164sqlem5 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 gzreim 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113109, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 gzcn 14450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115absvalsq2d 13274 . . . . . . . . . . . . . . 15
117109zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118111zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118crred 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121117, 118crimd 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123120, 122oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15
124116, 123eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
125107, 124oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
126125oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
127126, 17syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . 11
12890, 127oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
12956nncnd 10577 . . . . . . . . . . 11
13088, 129mulcomd 9638 . . . . . . . . . 10
131128, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
132 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
133 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
1349zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 ax-icn 9572 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13610zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138135, 136, 137sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
13992zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15
14094zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142135, 140, 141sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
143134, 138, 139, 142addsub4d 10001 . . . . . . . . . . . . . 14
144135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145144, 136, 140subdid 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15
146145oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
147143, 146eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
148147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
149134, 139subcld 9954 . . . . . . . . . . . . 13
150136, 140subcld 9954 . . . . . . . . . . . . . 14
151 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
152135, 150, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
153149, 152, 34, 40divdird 10383 . . . . . . . . . . . 12
154144, 150, 34, 40divassd 10380 . . . . . . . . . . . . 13
155154oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
156148, 153, 1553eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11
15791simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
15893simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
159 gzreim 14457 . . . . . . . . . . . 12
160157, 158, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
161156, 160eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
16211zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15
16312zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165135, 163, 164sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
166109zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15
167111zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169135, 167, 168sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
170162, 165, 166, 169addsub4d 10001 . . . . . . . . . . . . . 14
171144, 163, 167subdid 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15
172171oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
173170, 172eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
174173oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
175162, 166subcld 9954 . . . . . . . . . . . . 13
176163, 167subcld 9954 . . . . . . . . . . . . . 14
177 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
178135, 176, 177sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
179175, 178, 34, 40divdird 10383 . . . . . . . . . . . 12
180144, 176, 34, 40divassd 10380 . . . . . . . . . . . . 13
181180oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
182174, 179, 1813eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11
183108simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
184110simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
185 gzreim 14457 . . . . . . . . . . . 12
186183, 184, 185syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
187182, 186eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
18887nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . 11
18990, 188eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
1901, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189mul4sqlem 14471 . . . . . . . . 9
191131, 190eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
192 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
193192eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
194193, 6elrab2 3259 . . . . . . . 8
19556, 191, 194sylanbrc 664 . . . . . . 7
196 infmssuzle 11193 . . . . . . 7
19724, 195, 196sylancr 663 . . . . . 6
1987, 197syl5eqbr 4485 . . . . 5
19956nnred 10576 . . . . . 6
200199, 31letri3d 9748 . . . . 5
20120, 198, 200mpbir2and 922 . . . 4
202201olcd 393 . . 3
203202, 53mpd 15 . 2
204203, 47pm2.65i 173 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cmo 11996   cexp 12166   cre 12930   cim 12931   cabs 13067   cdvds 13986   cprime 14217   cgz 14447
This theorem is referenced by:  4sqlem18  14480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-gz 14448
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