Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem19 Unicode version

Theorem 4sqlem19 14481
 Description: Lemma for 4sq 14482. The proof is by strong induction - we show that if all the integers less than are in , then is as well. In this part of the proof we do the induction argument and dispense with all the cases except the odd prime case, which is sent to 4sqlem18 14480. If is 0,1,2, we show directly; otherwise if is composite, is the product of two numbers less than it (and hence in by assumption), so by mul4sq 14472 . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1
Assertion
Ref Expression
4sqlem19
Distinct variable groups:   ,,,,   S,

Proof of Theorem 4sqlem19
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . . . 4
2 eleq1 2529 . . . . . 6
3 eleq1 2529 . . . . . 6
4 eleq1 2529 . . . . . 6
5 eleq1 2529 . . . . . 6
6 eleq1 2529 . . . . . 6
7 abs1 13130 . . . . . . . . . . 11
87oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
9 sq1 12262 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtri 2486 . . . . . . . . 9
11 abs0 13118 . . . . . . . . . . 11
1211oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
13 sq0 12259 . . . . . . . . . 10
1412, 13eqtri 2486 . . . . . . . . 9
1510, 14oveq12i 6308 . . . . . . . 8
16 1p0e1 10673 . . . . . . . 8
1715, 16eqtri 2486 . . . . . . 7
18 1z 10919 . . . . . . . . 9
19 zgz 14451 . . . . . . . . 9
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8
21 0z 10900 . . . . . . . . 9
22 zgz 14451 . . . . . . . . 9
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8
24 4sq.1 . . . . . . . . 9
25244sqlem4a 14469 . . . . . . . 8
2620, 23, 25mp2an 672 . . . . . . 7
2717, 26eqeltrri 2542 . . . . . 6
28 eleq1 2529 . . . . . . 7
29 eldifsn 4155 . . . . . . . . 9
30 oddprm 14339 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10
32 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 prmnn 14220 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633, 34, 353syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
37 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . 14
38 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . 14
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
40 2cnd 10633 . . . . . . . . . . . . 13
41 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . . . 14
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4339, 40, 42divcan2d 10347 . . . . . . . . . . . 12
4443oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
45 npcan 9852 . . . . . . . . . . . 12
4636, 37, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
4744, 46eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10
4843oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
49 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . . . . . . 15
5033, 34, 493syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
51 elnn0uz 11147 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
53 eluzfz1 11722 . . . . . . . . . . . . 13
54 fzsplit 11740 . . . . . . . . . . . . 13
5552, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . 12
5648, 55eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
57 fzsn 11754 . . . . . . . . . . . . . . 15
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
5914, 14oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 00id 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6159, 60eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62244sqlem4a 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6323, 23, 62mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6461, 63eqeltrri 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
6758, 66eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . 13
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
69 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . . 14
7069oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . 13
71 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
72 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . . . 14
7371, 72sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
7470, 73syl5eqss 3547 . . . . . . . . . . . 12
7568, 74unssd 3679 . . . . . . . . . . 11
7656, 75eqsstrd 3537 . . . . . . . . . 10
77 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
7877eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
7978cbvrabv 3108 . . . . . . . . . 10
80 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
8124, 31, 47, 33, 76, 79, 804sqlem18 14480 . . . . . . . . 9
8229, 81sylanbr 473 . . . . . . . 8
8382an32s 804 . . . . . . 7
8410, 10oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10
85 df-2 10619 . . . . . . . . . 10
8684, 85eqtr4i 2489 . . . . . . . . 9
87244sqlem4a 14469 . . . . . . . . . 10
8820, 20, 87mp2an 672 . . . . . . . . 9
8986, 88eqeltrri 2542 . . . . . . . 8
9089a1i 11 . . . . . . 7
9128, 83, 90pm2.61ne 2772 . . . . . 6
9224mul4sq 14472 . . . . . . 7
9392a1i 11 . . . . . 6
942, 3, 4, 5, 6, 27, 91, 93prmind2 14228 . . . . 5
95 id 22 . . . . . 6
9695, 64syl6eqel 2553 . . . . 5
9794, 96jaoi 379 . . . 4
981, 97sylbi 195 . . 3
9998ssriv 3507 . 2
100244sqlem1 14466 . 2
10199, 100eqssi 3519 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  'ccnv 5003  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cexp 12166   cabs 13067   cprime 14217   cgz 14447 This theorem is referenced by:  4sq  14482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-gz 14448
 Copyright terms: Public domain W3C validator