MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4 Unicode version

Theorem 4sqlem4 13953
Description: Lemma for 4sq 13965. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1
Assertion
Ref Expression
4sqlem4
Distinct variable groups:   , , , ,   , , ,   S, , ,   ,

Proof of Theorem 4sqlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4
214sqlem2 13950 . . 3
3 gzreim 13940 . . . . . . . 8
43adantr 455 . . . . . . 7
5 gzreim 13940 . . . . . . . 8
65adantl 456 . . . . . . 7
7 gzcn 13933 . . . . . . . . . . . 12
83, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11
98absvalsq2d 12870 . . . . . . . . . 10
10 zre 10595 . . . . . . . . . . . . 13
11 zre 10595 . . . . . . . . . . . . 13
12 crre 12544 . . . . . . . . . . . . 13
1310, 11, 12syl2an 467 . . . . . . . . . . . 12
1413oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
15 crim 12545 . . . . . . . . . . . . 13
1610, 11, 15syl2an 467 . . . . . . . . . . . 12
1716oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
1814, 17oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
199, 18eqtrd 2454 . . . . . . . . 9
20 gzcn 13933 . . . . . . . . . . . 12
215, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11
2221absvalsq2d 12870 . . . . . . . . . 10
23 zre 10595 . . . . . . . . . . . . 13
24 zre 10595 . . . . . . . . . . . . 13
25 crre 12544 . . . . . . . . . . . . 13
2623, 24, 25syl2an 467 . . . . . . . . . . . 12
2726oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
28 crim 12545 . . . . . . . . . . . . 13
2923, 24, 28syl2an 467 . . . . . . . . . . . 12
3029oveq1d 6076 . . . . . . . . . . 11
3127, 30oveq12d 6079 . . . . . . . . . 10
3222, 31eqtrd 2454 . . . . . . . . 9
3319, 32oveqan12d 6080 . . . . . . . 8
3433eqcomd 2427 . . . . . . 7
35 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11
3635oveq1d 6076 . . . . . . . . . 10
3736oveq1d 6076 . . . . . . . . 9
3837eqeq2d 2433 . . . . . . . 8
39 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11
4039oveq1d 6076 . . . . . . . . . 10
4140oveq2d 6077 . . . . . . . . 9
4241eqeq2d 2433 . . . . . . . 8
4338, 42rspc2ev 3059 . . . . . . 7
444, 6, 34, 43syl3anc 1203 . . . . . 6
45 eqeq1 2428 . . . . . . 7
46452rexbidv 2737 . . . . . 6
4744, 46syl5ibrcom 216 . . . . 5
4847rexlimdvva 2827 . . . 4
4948rexlimivv 2825 . . 3
502, 49sylbi 189 . 2
5114sqlem4a 13952 . . . 4
52 eleq1a 2491 . . . 4
5351, 52syl 16 . . 3
5453rexlimivv 2825 . 2
5550, 54impbii 182 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  {cab 2408  E.wrex 2695  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227   ci 9230   caddc 9231   cmul 9233  2c2 10317   cz 10591   cexp 11806   cre 12527   cim 12528   cabs 12664   cgz 13930
This theorem is referenced by:  mul4sq  13955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-gz 13931
  Copyright terms: Public domain W3C validator