MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem7 Unicode version

Theorem aaliou3lem7 21556
Description: Lemma for aaliou3 21558. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c
aaliou3lem.d
aaliou3lem.e
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   , , ,

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10280 . . 3
2 eqid 2422 . . . 4
3 aaliou3lem.c . . . 4
42, 3aaliou3lem3 21551 . . 3
5 3simpc 972 . . 3
61, 4, 53syl 19 . 2
7 nncn 10276 . . . . . . . . . . . 12
8 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . . . 12
9 pncan 9562 . . . . . . . . . . . 12
107, 8, 9sylancl 647 . . . . . . . . . . 11
1110oveq2d 6077 . . . . . . . . . 10
1211sumeq1d 13119 . . . . . . . . 9
1312oveq1d 6076 . . . . . . . 8
14 nnuz 10841 . . . . . . . . 9
15 eqid 2422 . . . . . . . . 9
16 eqidd 2423 . . . . . . . . 9
17 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14
1817negeqd 9550 . . . . . . . . . . . . 13
1918oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . 12
20 ovex 6086 . . . . . . . . . . . 12
2119, 3, 20fvmpt 5744 . . . . . . . . . . 11
22 2rp 10941 . . . . . . . . . . . . 13
23 nnnn0 10532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 faccl 12002 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625nnzd 10691 . . . . . . . . . . . . . 14
2726znegcld 10694 . . . . . . . . . . . . 13
28 rpexpcl 11825 . . . . . . . . . . . . 13
2922, 27, 28sylancr 648 . . . . . . . . . . . 12
3029rpcnd 10974 . . . . . . . . . . 11
3121, 30eqeltrd 2496 . . . . . . . . . 10
3231adantl 456 . . . . . . . . 9
33 1nn 10279 . . . . . . . . . 10
34 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
3534, 3aaliou3lem3 21551 . . . . . . . . . . 11
3635simp1d 985 . . . . . . . . . 10
3733, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 13243 . . . . . . . 8
39 oveq2 6069 . . . . . . . . . . 11
4039sumeq1d 13119 . . . . . . . . . 10
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10
42 sumex 13106 . . . . . . . . . 10
4340, 41, 42fvmpt 5744 . . . . . . . . 9
4443oveq1d 6076 . . . . . . . 8
4513, 38, 443eqtr4rd 2465 . . . . . . 7
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7
4745, 46syl6eqr 2472 . . . . . 6
483, 46, 41aaliou3lem4 21553 . . . . . . . . 9
4948recni 9344 . . . . . . . 8
5049a1i 11 . . . . . . 7
513, 46, 41aaliou3lem5 21554 . . . . . . . 8
5251recnd 9358 . . . . . . 7
534simp2d 986 . . . . . . . . 9
541, 53syl 16 . . . . . . . 8
5554rpcnd 10974 . . . . . . 7
5650, 52, 55subaddd 9683 . . . . . 6
5747, 56mpbird 226 . . . . 5
5857eqcomd 2427 . . . 4
59 eleq1 2482 . . . . 5
60 breq1 4270 . . . . 5
6159, 60anbi12d 695 . . . 4
6258, 61syl 16 . . 3
6351adantr 455 . . . . . 6
64 simprl 740 . . . . . . 7
65 difrp 10969 . . . . . . . 8
6663, 48, 65sylancl 647 . . . . . . 7
6764, 66mpbird 226 . . . . . 6
6863, 67ltned 9456 . . . . 5
69 nnnn0 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 faccl 12002 . . . . . . . . . . . . . . 15
711, 69, 703syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
7271nnzd 10691 . . . . . . . . . . . . 13
7372znegcld 10694 . . . . . . . . . . . 12
74 rpexpcl 11825 . . . . . . . . . . . 12
7522, 73, 74sylancr 648 . . . . . . . . . . 11
76 rpmulcl 10957 . . . . . . . . . . 11
7722, 75, 76sylancr 648 . . . . . . . . . 10
7877adantr 455 . . . . . . . . 9
7978rpred 10972 . . . . . . . 8
8063, 79resubcld 9722 . . . . . . 7
8148a1i 11 . . . . . . 7
8263, 78ltsubrpd 11000 . . . . . . . 8
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 9478 . . . . . . 7
8480, 81, 83ltled 9468 . . . . . 6
85 simprr 741 . . . . . . 7
8681, 63, 79lesubadd2d 9884 . . . . . . 7
8785, 86mpbid 204 . . . . . 6
8881, 63, 79absdifled 12862 . . . . . 6
8984, 87, 88mpbir2and 898 . . . . 5
9068, 89jca 522 . . . 4
9190ex 427 . . 3
9262, 91sylbid 209 . 2
936, 92mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  domcdm 4811  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541  -ucneg 9542   cdiv 9939   cn 10268  2c2 10317   cn0 10525   cz 10591   cuz 10806   crp 10936   cfz 11381  seqcseq 11747   cexp 11806   cfa 11992   cabs 12664   cli 12903  sum_csu 13104
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  21557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-hash 12045  df-shft 12497  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105
  Copyright terms: Public domain W3C validator