MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem7 Unicode version

Theorem aaliou3lem7 22215
Description: Lemma for aaliou3 22217. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c
aaliou3lem.d
aaliou3lem.e
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   , , ,

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10472 . . 3
2 eqid 2454 . . . 4
3 aaliou3lem.c . . . 4
42, 3aaliou3lem3 22210 . . 3
5 3simpc 987 . . 3
61, 4, 53syl 20 . 2
7 nncn 10468 . . . . . . . . . . . 12
8 ax-1cn 9477 . . . . . . . . . . . 12
9 pncan 9753 . . . . . . . . . . . 12
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
1110oveq2d 6238 . . . . . . . . . 10
1211sumeq1d 13336 . . . . . . . . 9
1312oveq1d 6237 . . . . . . . 8
14 nnuz 11035 . . . . . . . . 9
15 eqid 2454 . . . . . . . . 9
16 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
17 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . 14
1817negeqd 9741 . . . . . . . . . . . . 13
1918oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . 12
20 ovex 6247 . . . . . . . . . . . 12
2119, 3, 20fvmpt 5897 . . . . . . . . . . 11
22 2rp 11135 . . . . . . . . . . . . 13
23 nnnn0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 faccl 12218 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625nnzd 10884 . . . . . . . . . . . . . 14
2726znegcld 10887 . . . . . . . . . . . . 13
28 rpexpcl 12041 . . . . . . . . . . . . 13
2922, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
3029rpcnd 11168 . . . . . . . . . . 11
3121, 30eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10
3231adantl 466 . . . . . . . . 9
33 1nn 10471 . . . . . . . . . 10
34 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12
3534, 3aaliou3lem3 22210 . . . . . . . . . . 11
3635simp1d 1000 . . . . . . . . . 10
3733, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 13461 . . . . . . . 8
39 oveq2 6230 . . . . . . . . . . 11
4039sumeq1d 13336 . . . . . . . . . 10
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10
42 sumex 13323 . . . . . . . . . 10
4340, 41, 42fvmpt 5897 . . . . . . . . 9
4443oveq1d 6237 . . . . . . . 8
4513, 38, 443eqtr4rd 2506 . . . . . . 7
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7
4745, 46syl6eqr 2513 . . . . . 6
483, 46, 41aaliou3lem4 22212 . . . . . . . . 9
4948recni 9535 . . . . . . . 8
5049a1i 11 . . . . . . 7
513, 46, 41aaliou3lem5 22213 . . . . . . . 8
5251recnd 9549 . . . . . . 7
534simp2d 1001 . . . . . . . . 9
541, 53syl 16 . . . . . . . 8
5554rpcnd 11168 . . . . . . 7
5650, 52, 55subaddd 9874 . . . . . 6
5747, 56mpbird 232 . . . . 5
5857eqcomd 2462 . . . 4
59 eleq1 2526 . . . . 5
60 breq1 4412 . . . . 5
6159, 60anbi12d 710 . . . 4
6258, 61syl 16 . . 3
6351adantr 465 . . . . . 6
64 simprl 755 . . . . . . 7
65 difrp 11163 . . . . . . . 8
6663, 48, 65sylancl 662 . . . . . . 7
6764, 66mpbird 232 . . . . . 6
6863, 67ltned 9647 . . . . 5
69 nnnn0 10724 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 faccl 12218 . . . . . . . . . . . . . . 15
711, 69, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
7271nnzd 10884 . . . . . . . . . . . . 13
7372znegcld 10887 . . . . . . . . . . . 12
74 rpexpcl 12041 . . . . . . . . . . . 12
7522, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
76 rpmulcl 11151 . . . . . . . . . . 11
7722, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . . 10
7877adantr 465 . . . . . . . . 9
7978rpred 11166 . . . . . . . 8
8063, 79resubcld 9913 . . . . . . 7
8148a1i 11 . . . . . . 7
8263, 78ltsubrpd 11194 . . . . . . . 8
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 9669 . . . . . . 7
8480, 81, 83ltled 9659 . . . . . 6
85 simprr 756 . . . . . . 7
8681, 63, 79lesubadd2d 10075 . . . . . . 7
8785, 86mpbid 210 . . . . . 6
8881, 63, 79absdifled 13079 . . . . . 6
8984, 87, 88mpbir2and 913 . . . . 5
9068, 89jca 532 . . . 4
9190ex 434 . . 3
9262, 91sylbid 215 . 2
936, 92mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  domcdm 4957  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417   cr 9418  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732  -ucneg 9733   cdiv 10130   cn 10460  2c2 10509   cn0 10717   cz 10784   cuz 11000   crp 11130   cfz 11582  seqcseq 11963   cexp 12022   cfa 12208   cabs 12881   cli 13120  sum_csu 13321
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-hash 12261  df-shft 12714  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322
  Copyright terms: Public domain W3C validator