MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscl Unicode version

Theorem abscl 13111
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
abscl

Proof of Theorem abscl
StepHypRef Expression
1 absval 13071 . 2
2 cjmulrcl 12977 . . 3
3 cjmulge0 12979 . . 3
4 resqrtcl 13087 . . 3
52, 3, 4syl2anc 661 . 2
61, 5eqeltrd 2545 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   cle 9650   ccj 12929   csqrt 13066   cabs 13067
This theorem is referenced by:  absreim  13126  absdiv  13128  leabs  13132  absexp  13137  absexpz  13138  sqabs  13140  absimle  13142  abslt  13147  absle  13148  abssubne0  13149  lenegsq  13153  releabs  13154  recval  13155  absidm  13156  absgt0  13157  abstri  13163  abs2dif  13165  abs2difabs  13167  abs1m  13168  absf  13170  abs3lem  13171  abslem2  13172  absrdbnd  13174  caubnd2  13190  caubnd  13191  sqreulem  13192  sqreu  13193  abscli  13227  abscld  13267  mulcn2  13418  seqabs  13628  cvgcmpce  13632  divrcnv  13664  geomulcvg  13685  efcllem  13813  cnbl0  21281  cnblcld  21282  cncmet  21761  iblmulc2  22237  bddmulibl  22245  dveflem  22380  abelth  22836  efiarg  22992  argregt0  22995  argimgt0  22997  tanarg  23004  logtayllem  23040  bndatandm  23260  atantayl  23268  efrlim  23299  ftalem2  23347  lgslem3  23573  smcnlem  25607  cncph  25734  nmophmi  26950  bdophmi  26951  zrhnm  27950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator