Theorem abscld 13267

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1

Assertion

Ref	Expression
abscld

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2
2		abscl 13111	. 2
3	1, 2	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818  `cfv 5593  cc 9511  cr 9512  cabs 13067

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13348  elo1mpt  13357  elo1mpt2  13358  elo1d  13359  o1bdd2  13364  o1bddrp  13365  rlimuni  13373  climuni  13375  o1eq  13393  rlimcld2  13401  rlimrege0  13402  climabs0  13408  mulcn2  13418  reccn2  13419  cn1lem  13420  cjcn2  13422  o1add  13436  o1mul  13437  o1sub  13438  rlimo1  13439  o1rlimmul  13441  climsqz  13463  climsqz2  13464  rlimsqzlem  13471  o1le  13475  climbdd  13494  caucvgrlem  13495  caucvgrlem2  13497  iseraltlem3  13506  iseralt  13507  fsumabs  13615  o1fsum  13627  iserabs  13629  cvgcmpce  13632  abscvgcvg  13633  divrcnv  13664  explecnv  13676  geomulcvg  13685  cvgrat  13692  mertenslem1  13693  mertenslem2  13694  fprodabs  13778  efcllem  13813  efaddlem  13828  eftlub  13844  ef01bndlem  13919  sin01bnd  13920  cos01bnd  13921  absef  13932  alzdvds  14036  sqnprm  14239  pclem  14362  mul4sqlem  14471  xrsdsreclb  18465  gzrngunitlem  18482  gzrngunit  18483  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  nm2dif  21144  blcvx  21303  recld2  21319  addcnlem  21368  cnheiborlem  21454  cnheibor  21455  cnllycmp  21456  cphsqrtcl2  21633  ipcau2  21677  tchcphlem1  21678  ipcnlem2  21684  cncmet  21761  trirn  21827  rrxdstprj1  21836  pjthlem1  21852  volsup2  22014  mbfi1fseqlem6  22127  iblabslem  22234  iblabs  22235  iblabsr  22236  iblmulc2  22237  itgabs  22241  bddmulibl  22245  itgcn  22249  dveflem  22380  dvlip  22394  dvlipcn  22395  c1liplem1  22397  dveq0  22401  dv11cn  22402  lhop1lem  22414  dvfsumabs  22424  dvfsumrlim  22432  dvfsumrlim2  22433  ftc1a  22438  ftc1lem4  22440  plyeq0lem  22607  aalioulem2  22729  aalioulem3  22730  aalioulem4  22731  aalioulem5  22732  aalioulem6  22733  aaliou  22734  geolim3  22735  aaliou2b  22737  aaliou3lem9  22746  ulmbdd  22793  ulmcn  22794  ulmdvlem1  22795  mtest  22799  mtestbdd  22800  iblulm  22802  itgulm  22803  radcnvlem1  22808  radcnvlem2  22809  radcnvlt1  22813  radcnvle  22815  dvradcnv  22816  pserulm  22817  psercnlem2  22819  psercnlem1  22820  psercn  22821  pserdvlem1  22822  pserdvlem2  22823  pserdv  22824  abelthlem2  22827  abelthlem3  22828  abelthlem5  22830  abelthlem7  22833  abelthlem8  22834  sineq0  22914  tanregt0  22926  efif1olem3  22931  efif1olem4  22932  eff1olem  22935  cosargd  22993  cosarg0d  22994  argrege0  22996  abslogle  23003  logcnlem3  23025  logcnlem4  23026  efopnlem1  23037  logtayl  23041  abscxp2  23074  cxpcn3lem  23121  abscxpbnd  23127  cosangneg2d  23139  lawcoslem1  23147  lawcos  23148  pythag  23149  isosctrlem3  23154  ssscongptld  23156  chordthmlem3  23165  chordthmlem4  23166  chordthmlem5  23167  heron  23169  bndatandm  23260  efrlim  23299  rlimcxp  23303  o1cxp  23304  cxploglim2  23308  divsqrtsumo1  23313  fsumharmonic  23341  ftalem1  23346  ftalem2  23347  ftalem3  23348  ftalem4  23349  ftalem5  23350  ftalem7  23352  logfacbnd3  23498  logfacrlim  23499  logexprlim  23500  dchrabs  23535  lgsdirprm  23604  lgsdilem2  23606  lgsne0  23608  lgsabs1  23609  mul2sq  23640  2sqlem3  23641  2sqblem  23652  vmadivsumb  23668  rplogsumlem2  23670  dchrisumlem2  23675  dchrisumlem3  23676  dchrisum  23677  dchrmusum2  23679  dchrvmasumlem2  23683  dchrvmasumlem3  23684  dchrvmasumiflem1  23686  dchrvmasumiflem2  23687  dchrisum0flblem1  23693  dchrisum0fno1  23696  dchrisum0lem1b  23700  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  dchrisum0lem3  23704  mudivsum  23715  mulogsumlem  23716  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  2vmadivsumlem  23725  log2sumbnd  23729  selberglem2  23731  selbergb  23734  selberg2b  23737  chpdifbndlem1  23738  selberg3lem1  23742  selberg3lem2  23743  selberg4lem1  23745  pntrsumo1  23750  pntrsumbnd  23751  pntrsumbnd2  23752  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem3  23764  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntrlog2bndlem6  23768  pntrlog2bnd  23769  pntpbnd1a  23770  pntpbnd2  23772  pntibndlem2  23776  pntlemn  23785  pntlemj  23788  pntlemf  23790  pntlemo  23792  pntlem3  23794  pntleml  23796  smcnlem  25607  nmoub3i  25688  isblo3i  25716  htthlem  25834  bcs2  26099  pjhthlem1  26309  nmfnsetre  26796  nmfnleub2  26845  nmfnge0  26846  nmbdfnlbi  26968  nmcfnexi  26970  nmcfnlbi  26971  lnfnconi  26974  cnlnadjlem2  26987  cnlnadjlem7  26992  nmopcoadji  27020  leopnmid  27057  bhmafibid1  27632  sqsscirc2  27891  lgamgulmlem2  28572  lgamgulmlem3  28573  lgamgulmlem5  28575  lgambdd  28579  lgamucov  28580  lgamcvg2  28597  subfaclim  28632  subfacval3  28633  sinccvglem  29038  iblabsnclem  30078  iblabsnc  30079  iblmulc2nc  30080  itgabsnc  30084  bddiblnc  30085  ftc1cnnclem  30088  ftc1anclem1  30090  ftc1anclem2  30091  ftc1anclem4  30093  ftc1anclem5  30094  ftc1anclem6  30095  ftc1anclem7  30096  ftc1anclem8  30097  ftc1anc  30098  ftc2nc  30099  dvasin  30103  areacirclem1  30107  areacirclem2  30108  areacirclem4  30110  areacirclem5  30111  areacirc  30112  geomcau  30252  cntotbnd  30292  rrndstprj1  30326  rrndstprj2  30327  ismrer1  30334  rencldnfilem  30754  irrapxlem2  30759  irrapxlem4  30761  irrapxlem5  30762  pellexlem2  30766  pellexlem6  30770  pell14qrgt0  30795  congabseq  30912  acongeq  30921  modabsdifz  30927  jm2.26lem3  30943  dvgrat  31193  cvgdvgrat  31194  radcnvrat  31195  dvconstbi  31239  binomcxplemnotnn0  31261  dstregt0  31463  absnpncan2d  31502  absnpncan3d  31507  fprodabs2  31602  mullimc  31622  mullimcf  31629  limcrecl  31635  lptre2pt  31646  limcleqr  31650  addlimc  31654  0ellimcdiv  31655  limclner  31657  cncficcgt0  31691  dvdivbd  31720  dvbdfbdioolem1  31725  dvbdfbdioolem2  31726  dvbdfbdioo  31727  ioodvbdlimc1lem1  31728  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  stoweid  31845  fourierdlem30  31919  fourierdlem39  31928  fourierdlem42  31931  fourierdlem47  31936  fourierdlem68  31957  fourierdlem70  31959  fourierdlem71  31960  fourierdlem73  31962  fourierdlem77  31966  fourierdlem80  31969  fourierdlem83  31972  fourierdlem87  31976  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  etransclem23  32040  etransclem48  32065  extoimad  37981  imo72b2lem0  37982  imo72b2  37993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069