MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscvgcvg Unicode version

Theorem abscvgcvg 13440
Description: An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscvgcvg.1
abscvgcvg.2
abscvgcvg.3
abscvgcvg.4
abscvgcvg.5
Assertion
Ref Expression
abscvgcvg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,   ,

Proof of Theorem abscvgcvg
StepHypRef Expression
1 abscvgcvg.1 . 2
2 abscvgcvg.2 . . . 4
3 uzid 11014 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
54, 1syl6eleqr 2553 . 2
6 abscvgcvg.3 . . 3
7 abscvgcvg.4 . . . 4
87abscld 13080 . . 3
96, 8eqeltrd 2542 . 2
10 abscvgcvg.5 . 2
11 1red 9538 . 2
121eleq2i 2532 . . 3
136eqcomd 2462 . . . . 5
14 eqle 9614 . . . . 5
158, 13, 14syl2anc 661 . . . 4
169recnd 9549 . . . . 5
1716mulid2d 9541 . . . 4
1815, 17breqtrrd 4435 . . 3
1912, 18sylan2br 476 . 2
201, 5, 9, 7, 10, 11, 19cvgcmpce 13439 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   class class class wbr 4409  domcdm 4957  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417   cr 9418  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   cle 9556   cz 10784   cuz 11000  seqcseq 11963   cabs 12881   cli 13120
This theorem is referenced by:  mertens  13504  radcnvlem3  22280  radcnvlt2  22284  zetacvg  27457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-rp 11131  df-ico 11445  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322
  Copyright terms: Public domain W3C validator