MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Unicode version

Theorem abscxpbnd 21932
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1
abscxpbnd.2
abscxpbnd.3
abscxpbnd.4
abscxpbnd.5
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 9910 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 oveq12 6070 . . . . . . . 8
43adantll 698 . . . . . . 7
5 0cn 9324 . . . . . . . 8
6 cxp0 21856 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
84, 7syl6eq 2470 . . . . . 6
98fveq2d 5665 . . . . 5
10 abs1 12727 . . . . 5
119, 10syl6eq 2470 . . . 4
12 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
13 re0 12582 . . . . . . . . 9
1412, 13syl6eq 2470 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6077 . . . . . . 7
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10
1716recnd 9358 . . . . . . . . 9
1817cxp0d 21891 . . . . . . . 8
1918adantr 455 . . . . . . 7
2015, 19sylan9eqr 2476 . . . . . 6
21 simpr 451 . . . . . . . . . . 11
2221abs00bd 12721 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 6076 . . . . . . . . 9
24 picn 21663 . . . . . . . . . 10
2524mul02i 9504 . . . . . . . . 9
2623, 25syl6eq 2470 . . . . . . . 8
2726fveq2d 5665 . . . . . . 7
28 ef0 13316 . . . . . . 7
2927, 28syl6eq 2470 . . . . . 6
3020, 29oveq12d 6079 . . . . 5
31 1t1e1 10415 . . . . 5
3230, 31syl6eq 2470 . . . 4
332, 11, 323brtr4d 4297 . . 3
34 simplr 739 . . . . . . 7
3534oveq1d 6076 . . . . . 6
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8
3736adantr 455 . . . . . . 7
38 0cxp 21852 . . . . . . 7
3937, 38sylan 461 . . . . . 6
4035, 39eqtrd 2454 . . . . 5
4140abs00bd 12721 . . . 4
42 0red 9333 . . . . . . . 8
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9
4443abscld 12863 . . . . . . . 8
4543absge0d 12871 . . . . . . . 8
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8
4742, 44, 16, 45, 46letrd 9474 . . . . . . 7
4836recld 12624 . . . . . . 7
4916, 47, 48recxpcld 21909 . . . . . 6
5049ad2antrr 710 . . . . 5
5136abscld 12863 . . . . . . . 8
5251ad2antrr 710 . . . . . . 7
53 pire 21662 . . . . . . 7
54 remulcl 9313 . . . . . . 7
5552, 53, 54sylancl 647 . . . . . 6
5655reefcld 13313 . . . . 5
5716, 47, 48cxpge0d 21910 . . . . . 6
5857ad2antrr 710 . . . . 5
5955rpefcld 13329 . . . . . 6
6059rpge0d 10976 . . . . 5
6150, 56, 58, 60mulge0d 9862 . . . 4
6241, 61eqbrtrd 4287 . . 3
6333, 62pm2.61dane 2668 . 2
6443adantr 455 . . . . . 6
65 simpr 451 . . . . . 6
6636adantr 455 . . . . . 6
6764, 65, 66cxpefd 21898 . . . . 5
6867fveq2d 5665 . . . 4
69 logcl 21761 . . . . . . 7
7043, 69sylan 461 . . . . . 6
7166, 70mulcld 9352 . . . . 5
72 absef 13421 . . . . 5
7371, 72syl 16 . . . 4
7466recld 12624 . . . . . . . 8
7570recld 12624 . . . . . . . 8
7674, 75remulcld 9360 . . . . . . 7
7776recnd 9358 . . . . . 6
7866imcld 12625 . . . . . . . 8
7970imcld 12625 . . . . . . . . 9
8079renegcld 9721 . . . . . . . 8
8178, 80remulcld 9360 . . . . . . 7
8281recnd 9358 . . . . . 6
83 efadd 13319 . . . . . 6
8477, 82, 83syl2anc 646 . . . . 5
8578, 79remulcld 9360 . . . . . . . . 9
8685recnd 9358 . . . . . . . 8
8777, 86negsubd 9671 . . . . . . 7
8878recnd 9358 . . . . . . . . 9
8979recnd 9358 . . . . . . . . 9
9088, 89mulneg2d 9744 . . . . . . . 8
9190oveq2d 6077 . . . . . . 7
9266, 70remuld 12648 . . . . . . 7
9387, 91, 923eqtr4d 2464 . . . . . 6
9493fveq2d 5665 . . . . 5
95 relog 21786 . . . . . . . . . 10
9643, 95sylan 461 . . . . . . . . 9
9796oveq2d 6077 . . . . . . . 8
9897fveq2d 5665 . . . . . . 7
9944recnd 9358 . . . . . . . . 9
10099adantr 455 . . . . . . . 8
10143abs00ad 12720 . . . . . . . . . 10
102101necon3bid 2622 . . . . . . . . 9
103102biimpar 475 . . . . . . . 8
10474recnd 9358 . . . . . . . 8
105100, 103, 104cxpefd 21898 . . . . . . 7
10698, 105eqtr4d 2457 . . . . . 6
107106oveq1d 6076 . . . . 5
10884, 94, 1073eqtr3d 2462 . . . 4
10968, 73, 1083eqtrd 2458 . . 3
11064abscld 12863 . . . . . 6
11164absge0d 12871 . . . . . 6
112110, 111, 74recxpcld 21909 . . . . 5
11381reefcld 13313 . . . . 5
114112, 113remulcld 9360 . . . 4
11549adantr 455 . . . . 5
116115, 113remulcld 9360 . . . 4
11751, 53, 54sylancl 647 . . . . . . 7
118117reefcld 13313 . . . . . 6
119118adantr 455 . . . . 5
120115, 119remulcld 9360 . . . 4
12181rpefcld 13329 . . . . . 6
122121rpge0d 10976 . . . . 5
12316adantr 455 . . . . . 6
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7
125124adantr 455 . . . . . 6
12646adantr 455 . . . . . 6
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 21911 . . . . 5
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 10218 . . . 4
12957adantr 455 . . . . 5
13088abscld 12863 . . . . . . . 8
13180recnd 9358 . . . . . . . . 9
132131abscld 12863 . . . . . . . 8
133130, 132remulcld 9360 . . . . . . 7
134117adantr 455 . . . . . . 7
13581leabsd 12842 . . . . . . . 8
13688, 131absmuld 12881 . . . . . . . 8
137135, 136breqtrd 4291 . . . . . . 7
13866abscld 12863 . . . . . . . . 9
139138, 132remulcld 9360 . . . . . . . 8
140131absge0d 12871 . . . . . . . . 9
141 absimle 12739 . . . . . . . . . 10
14266, 141syl 16 . . . . . . . . 9
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 10218 . . . . . . . 8
14453a1i 11 . . . . . . . . 9
14566absge0d 12871 . . . . . . . . 9
14689absnegd 12876 . . . . . . . . . 10
147 logimcl 21762 . . . . . . . . . . . . . 14
14843, 147sylan 461 . . . . . . . . . . . . 13
149148simpld 449 . . . . . . . . . . . 12
15053renegcli 9616 . . . . . . . . . . . . 13
151 ltle 9409 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 79, 151sylancr 648 . . . . . . . . . . . 12
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11
154148simprd 453 . . . . . . . . . . 11
155 absle 12744 . . . . . . . . . . . 12
15679, 53, 155sylancl 647 . . . . . . . . . . 11
157153, 154, 156mpbir2and 898 . . . . . . . . . 10
158146, 157eqbrtrd 4287 . . . . . . . . 9
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 10219 . . . . . . . 8
160133, 139, 134, 143, 159letrd 9474 . . . . . . 7
16181, 133, 134, 137, 160letrd 9474 . . . . . 6
162 efle 13342 . . . . . . 7
16381, 134, 162syl2anc 646 . . . . . 6
164161, 163mpbid 204 . . . . 5
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 10219 . . . 4
166114, 116, 120, 128, 165letrd 9474 . . 3
167109, 166eqbrtrd 4287 . 2
16863, 167pm2.61dane 2668 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cle 9365   cmin 9541  -ucneg 9542   cre 12527   cim 12528   cabs 12664   ce 13287   cpi 13292   clog 21747   ccxp 21748
This theorem is referenced by:  o1cxp  22109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-mod 11650  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-shft 12497  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-ef 13293  df-sin 13295  df-cos 13296  df-pi 13298  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042  df-log 21749  df-cxp 21750
  Copyright terms: Public domain W3C validator