MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Unicode version

Theorem abscxpbnd 22591
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1
abscxpbnd.2
abscxpbnd.3
abscxpbnd.4
abscxpbnd.5
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 10101 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 oveq12 6231 . . . . . . . 8
43adantll 713 . . . . . . 7
5 0cn 9515 . . . . . . . 8
6 cxp0 22515 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
84, 7syl6eq 2511 . . . . . 6
98fveq2d 5817 . . . . 5
10 abs1 12944 . . . . 5
119, 10syl6eq 2511 . . . 4
12 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
13 re0 12799 . . . . . . . . 9
1412, 13syl6eq 2511 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6238 . . . . . . 7
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10
1716recnd 9549 . . . . . . . . 9
1817cxp0d 22550 . . . . . . . 8
1918adantr 465 . . . . . . 7
2015, 19sylan9eqr 2517 . . . . . 6
21 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
2221abs00bd 12938 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 6237 . . . . . . . . 9
24 picn 22322 . . . . . . . . . 10
2524mul02i 9695 . . . . . . . . 9
2623, 25syl6eq 2511 . . . . . . . 8
2726fveq2d 5817 . . . . . . 7
28 ef0 13534 . . . . . . 7
2927, 28syl6eq 2511 . . . . . 6
3020, 29oveq12d 6240 . . . . 5
31 1t1e1 10607 . . . . 5
3230, 31syl6eq 2511 . . . 4
332, 11, 323brtr4d 4439 . . 3
34 simplr 754 . . . . . . 7
3534oveq1d 6237 . . . . . 6
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8
3736adantr 465 . . . . . . 7
38 0cxp 22511 . . . . . . 7
3937, 38sylan 471 . . . . . 6
4035, 39eqtrd 2495 . . . . 5
4140abs00bd 12938 . . . 4
42 0red 9524 . . . . . . . 8
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9
4443abscld 13080 . . . . . . . 8
4543absge0d 13088 . . . . . . . 8
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8
4742, 44, 16, 45, 46letrd 9665 . . . . . . 7
4836recld 12841 . . . . . . 7
4916, 47, 48recxpcld 22568 . . . . . 6
5049ad2antrr 725 . . . . 5
5136abscld 13080 . . . . . . . 8
5251ad2antrr 725 . . . . . . 7
53 pire 22321 . . . . . . 7
54 remulcl 9504 . . . . . . 7
5552, 53, 54sylancl 662 . . . . . 6
5655reefcld 13531 . . . . 5
5716, 47, 48cxpge0d 22569 . . . . . 6
5857ad2antrr 725 . . . . 5
5955rpefcld 13547 . . . . . 6
6059rpge0d 11170 . . . . 5
6150, 56, 58, 60mulge0d 10053 . . . 4
6241, 61eqbrtrd 4429 . . 3
6333, 62pm2.61dane 2771 . 2
6443adantr 465 . . . . . 6
65 simpr 461 . . . . . 6
6636adantr 465 . . . . . 6
6764, 65, 66cxpefd 22557 . . . . 5
6867fveq2d 5817 . . . 4
69 logcl 22420 . . . . . . 7
7043, 69sylan 471 . . . . . 6
7166, 70mulcld 9543 . . . . 5
72 absef 13639 . . . . 5
7371, 72syl 16 . . . 4
7466recld 12841 . . . . . . . 8
7570recld 12841 . . . . . . . 8
7674, 75remulcld 9551 . . . . . . 7
7776recnd 9549 . . . . . 6
7866imcld 12842 . . . . . . . 8
7970imcld 12842 . . . . . . . . 9
8079renegcld 9912 . . . . . . . 8
8178, 80remulcld 9551 . . . . . . 7
8281recnd 9549 . . . . . 6
83 efadd 13537 . . . . . 6
8477, 82, 83syl2anc 661 . . . . 5
8578, 79remulcld 9551 . . . . . . . . 9
8685recnd 9549 . . . . . . . 8
8777, 86negsubd 9862 . . . . . . 7
8878recnd 9549 . . . . . . . . 9
8979recnd 9549 . . . . . . . . 9
9088, 89mulneg2d 9935 . . . . . . . 8
9190oveq2d 6238 . . . . . . 7
9266, 70remuld 12865 . . . . . . 7
9387, 91, 923eqtr4d 2505 . . . . . 6
9493fveq2d 5817 . . . . 5
95 relog 22445 . . . . . . . . . 10
9643, 95sylan 471 . . . . . . . . 9
9796oveq2d 6238 . . . . . . . 8
9897fveq2d 5817 . . . . . . 7
9944recnd 9549 . . . . . . . . 9
10099adantr 465 . . . . . . . 8
10143abs00ad 12937 . . . . . . . . . 10
102101necon3bid 2711 . . . . . . . . 9
103102biimpar 485 . . . . . . . 8
10474recnd 9549 . . . . . . . 8
105100, 103, 104cxpefd 22557 . . . . . . 7
10698, 105eqtr4d 2498 . . . . . 6
107106oveq1d 6237 . . . . 5
10884, 94, 1073eqtr3d 2503 . . . 4
10968, 73, 1083eqtrd 2499 . . 3
11064abscld 13080 . . . . . 6
11164absge0d 13088 . . . . . 6
112110, 111, 74recxpcld 22568 . . . . 5
11381reefcld 13531 . . . . 5
114112, 113remulcld 9551 . . . 4
11549adantr 465 . . . . 5
116115, 113remulcld 9551 . . . 4
11751, 53, 54sylancl 662 . . . . . . 7
118117reefcld 13531 . . . . . 6
119118adantr 465 . . . . 5
120115, 119remulcld 9551 . . . 4
12181rpefcld 13547 . . . . . 6
122121rpge0d 11170 . . . . 5
12316adantr 465 . . . . . 6
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7
125124adantr 465 . . . . . 6
12646adantr 465 . . . . . 6
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 22570 . . . . 5
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 10409 . . . 4
12957adantr 465 . . . . 5
13088abscld 13080 . . . . . . . 8
13180recnd 9549 . . . . . . . . 9
132131abscld 13080 . . . . . . . 8
133130, 132remulcld 9551 . . . . . . 7
134117adantr 465 . . . . . . 7
13581leabsd 13059 . . . . . . . 8
13688, 131absmuld 13098 . . . . . . . 8
137135, 136breqtrd 4433 . . . . . . 7
13866abscld 13080 . . . . . . . . 9
139138, 132remulcld 9551 . . . . . . . 8
140131absge0d 13088 . . . . . . . . 9
141 absimle 12956 . . . . . . . . . 10
14266, 141syl 16 . . . . . . . . 9
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 10409 . . . . . . . 8
14453a1i 11 . . . . . . . . 9
14566absge0d 13088 . . . . . . . . 9
14689absnegd 13093 . . . . . . . . . 10
147 logimcl 22421 . . . . . . . . . . . . . 14
14843, 147sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
149148simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
15053renegcli 9807 . . . . . . . . . . . . 13
151 ltle 9600 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 79, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11
154148simprd 463 . . . . . . . . . . 11
155 absle 12961 . . . . . . . . . . . 12
15679, 53, 155sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
157153, 154, 156mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10
158146, 157eqbrtrd 4429 . . . . . . . . 9
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 10410 . . . . . . . 8
160133, 139, 134, 143, 159letrd 9665 . . . . . . 7
16181, 133, 134, 137, 160letrd 9665 . . . . . 6
162 efle 13560 . . . . . . 7
16381, 134, 162syl2anc 661 . . . . . 6
164161, 163mpbid 210 . . . . 5
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 10410 . . . 4
166114, 116, 120, 128, 165letrd 9665 . . 3
167109, 166eqbrtrd 4429 . 2
16863, 167pm2.61dane 2771 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   class class class wbr 4409  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cmin 9732  -ucneg 9733   cre 12744   cim 12745   cabs 12881   ce 13505   cpi 13510   clog 22406   ccxp 22407
This theorem is referenced by:  o1cxp  22768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-mod 11854  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-bc 12236  df-hash 12261  df-shft 12714  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-ef 13511  df-sin 13513  df-cos 13514  df-pi 13516  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-lp 19139  df-perf 19140  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-haus 19318  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cncf 20853  df-limc 21741  df-dv 21742  df-log 22408  df-cxp 22409
  Copyright terms: Public domain W3C validator