MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Unicode version

Theorem absge0d 13275
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1
Assertion
Ref Expression
absge0d

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2
2 absge0 13120 . 2
31, 2syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593   cc 9511  0cc0 9513   cle 9650   cabs 13067
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13348  mulcn2  13418  o1mul  13437  o1rlimmul  13441  o1fsum  13627  cvgcmpce  13632  explecnv  13676  cvgrat  13692  mertenslem1  13693  mertenslem2  13694  efcllem  13813  eftlub  13844  sqnprm  14239  gzrngunitlem  18482  blcvx  21303  cnheibor  21455  cphsqrtcl2  21633  ipcau2  21677  trirn  21827  rrxdstprj1  21836  mbfi1fseqlem6  22127  iblabs  22235  iblabsr  22236  iblmulc2  22237  itgabs  22241  bddmulibl  22245  itgcn  22249  dvlip  22394  dvlipcn  22395  dveq0  22401  dv11cn  22402  plyeq0lem  22607  aalioulem3  22730  mtest  22799  radcnvlem1  22808  radcnvlem2  22809  radcnvlt1  22813  dvradcnv  22816  pserulm  22817  psercnlem2  22819  psercnlem1  22820  pserdvlem1  22822  pserdv  22824  abelthlem5  22830  abelthlem7  22833  abelthlem8  22834  tanregt0  22926  efif1olem3  22931  argregt0  22995  argrege0  22996  logtayllem  23040  logtayl  23041  abscxpbnd  23127  heron  23169  efrlim  23299  rlimcxp  23303  ftalem1  23346  ftalem4  23349  ftalem5  23350  lgsdirprm  23604  lgsdilem2  23606  lgsne0  23608  2sqblem  23652  dchrisumlem2  23675  dchrmusum2  23679  dchrvmasumlem2  23683  dchrvmasumlem3  23684  dchrvmasumiflem1  23686  dchrisum0flblem1  23693  dchrisum0lem2a  23702  mudivsum  23715  mulogsumlem  23716  mulog2sumlem2  23720  selberglem2  23731  selberg3lem2  23743  pntrsumbnd  23751  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem3  23764  pntrlog2bndlem5  23766  pntrlog2bndlem6  23768  pntrlog2bnd  23769  pntleml  23796  smcnlem  25607  nmoub3i  25688  nmfnge0  26846  sqsscirc2  27891  lgamgulmlem2  28572  lgamgulmlem3  28573  lgamgulmlem5  28575  lgamcvg2  28597  mblfinlem2  30052  iblabsnc  30079  iblmulc2nc  30080  itgabsnc  30084  bddiblnc  30085  ftc1anclem2  30091  ftc1anclem4  30093  ftc1anclem5  30094  ftc1anclem6  30095  ftc1anclem7  30096  ftc1anclem8  30097  ftc1anc  30098  ftc2nc  30099  dvasin  30103  areacirclem1  30107  areacirclem2  30108  areacirclem4  30110  areacirclem5  30111  areacirc  30112  cntotbnd  30292  rrndstprj1  30326  rrndstprj2  30327  ismrer1  30334  pell14qrgt0  30795  radcnvrat  31195  dvconstbi  31239  binomcxplemnotnn0  31261  dvdivbd  31720  dvbdfbdioolem1  31725  dvbdfbdioolem2  31726  ioodvbdlimc1lem1  31728  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  fourierdlem30  31919  fourierdlem39  31928  fourierdlem47  31936  fourierdlem73  31962  fourierdlem77  31966  fourierdlem87  31976  etransclem23  32040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator