MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Unicode version

Theorem absmuld 13285
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1
abssubd.2
Assertion
Ref Expression
absmuld

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2
2 abssubd.2 . 2
3 absmul 13127 . 2
41, 2, 3syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cmul 9518   cabs 13067
This theorem is referenced by:  mulcn2  13418  reccn2  13419  o1mul  13437  o1rlimmul  13441  iseraltlem3  13506  geomulcvg  13685  mertenslem1  13693  fprodabs  13778  absef  13932  efieq1re  13934  mulgcddvds  14245  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  blcvx  21303  iblmulc2  22237  itgabs  22241  bddmulibl  22245  dveflem  22380  dvlip  22394  dvlipcn  22395  plyeq0lem  22607  aalioulem4  22731  radcnvlem1  22808  dvradcnv  22816  pserulm  22817  abelthlem5  22830  abelthlem7  22833  abslogle  23003  logtayllem  23040  abscxpbnd  23127  chordthmlem4  23166  divsqrtsumo1  23313  ftalem1  23346  ftalem2  23347  ftalem5  23350  logexprlim  23500  lgsdilem2  23606  2sqlem3  23641  dchrisumlem2  23675  dchrmusum2  23679  dchrvmasumlem3  23684  dchrvmasumiflem1  23686  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  mudivsum  23715  mulogsumlem  23716  mulog2sumlem1  23719  mulog2sumlem2  23720  2vmadivsumlem  23725  selberglem2  23731  selberg3lem1  23742  selberg4lem1  23745  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem3  23764  pntibndlem2  23776  pntlemn  23785  pntlemj  23788  nmbdfnlbi  26968  nmcfnlbi  26971  bhmafibid1  27632  cnzh  27951  rezh  27952  lgamgulmlem2  28572  lgamgulmlem3  28573  lgamgulmlem5  28575  subfaclim  28632  iblmulc2nc  30080  itgabsnc  30084  cntotbnd  30292  irrapxlem2  30759  irrapxlem5  30762  pellexlem2  30766  radcnvrat  31195  lcmgcd  31213  lcmid  31215  fprodabs2  31602  dvdivbd  31720  dvbdfbdioolem1  31725  fourierdlem30  31919  fourierdlem39  31928  fourierdlem47  31936  fourierdlem68  31957  fourierdlem73  31962  fourierdlem77  31966  fourierdlem87  31976  etransclem23  32040  absmulrposd  37971  imo72b2lem0  37982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator