Theorem abssubd 13284

Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1
abssubd.2

Assertion

Ref	Expression
abssubd

Proof of Theorem abssubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2
2		abssubd.2	. 2
3		abssub 13159	. 2
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cmin 9828  cabs 13067

This theorem is referenced by:  rlimuni  13373  climuni  13375  2clim  13395  rlimrecl  13403  subcn2  13417  reccn2  13419  climcau  13493  caucvgrlem  13495  serf0  13503  mertenslem2  13694  xrsxmet  21314  elcncf2  21394  cnllycmp  21456  dvlip  22394  c1lip1  22398  dvfsumrlim2  22433  dvfsum2  22435  ftc1a  22438  aalioulem3  22730  ulmcaulem  22789  ulmcau  22790  ulmbdd  22793  ulmcn  22794  ulmdvlem1  22795  logcnlem4  23026  ssscongptld  23156  chordthmlem3  23165  chordthmlem4  23166  ftalem2  23347  logfacrlim  23499  dchrisumlem3  23676  dchrisum0lem1b  23700  mulog2sumlem2  23720  pntrlog2bndlem3  23764  smcnlem  25607  qqhucn  27973  lgamucov  28580  ftc1anclem8  30097  irrapxlem3  30760  irrapxlem5  30762  pell14qrgt0  30795  acongeq  30921  limcrecl  31635  islpcn  31645  lptre2pt  31646  0ellimcdiv  31655  limclner  31657  dvbdfbdioolem2  31726  ioodvbdlimc1lem1  31728  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  fourierdlem42  31931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-abs 13069