MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac10ct Unicode version

Theorem ac10ct 8436
Description: A proof of the Well ordering theorem weth 8896, an Axiom of Choice equivalent, restricted to sets dominated by some ordinal (in particular finite sets and countable sets), proven in ZF without AC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ac10ct
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem ac10ct
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . 6
21brdom 7548 . . . . 5
3 f1f 5786 . . . . . . . . . . . 12
4 frn 5742 . . . . . . . . . . . 12
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11
6 onss 6626 . . . . . . . . . . 11
7 sstr2 3510 . . . . . . . . . . 11
85, 6, 7syl2im 38 . . . . . . . . . 10
9 epweon 6619 . . . . . . . . . 10
10 wess 4871 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10syl6mpi 62 . . . . . . . . 9
1211adantl 466 . . . . . . . 8
13 f1f1orn 5832 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
1514f1owe 6249 . . . . . . . . . 10
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9
17 weinxp 5072 . . . . . . . . . 10
18 reldom 7542 . . . . . . . . . . . 12
1918brrelexi 5045 . . . . . . . . . . 11
20 sqxpexg 6605 . . . . . . . . . . 11
21 incom 3690 . . . . . . . . . . . 12
22 inex1g 4595 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . 11
24 weeq1 4872 . . . . . . . . . . . 12
2524spcegv 3195 . . . . . . . . . . 11
2619, 20, 23, 254syl 21 . . . . . . . . . 10
2717, 26syl5bi 217 . . . . . . . . 9
2816, 27sylan9r 658 . . . . . . . 8
2912, 28syld 44 . . . . . . 7
3029impancom 440 . . . . . 6
3130exlimdv 1724 . . . . 5
322, 31syl5bi 217 . . . 4
3332ex 434 . . 3
3433pm2.43b 50 . 2
3534rexlimiv 2943 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  {copab 4509   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  X.cxp 5002  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   cdom 7534
This theorem is referenced by:  ondomen  8439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-dom 7538
  Copyright terms: Public domain W3C validator