MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Unicode version

Theorem ac6c4 8882
Description: Equivalent of Axiom of Choice. is a collection (x) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1
ac6c4.2
Assertion
Ref Expression
ac6c4
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1707 . . . 4
2 nfcsb1v 3450 . . . . 5
3 nfcv 2619 . . . . 5
42, 3nfne 2788 . . . 4
5 csbeq1a 3443 . . . . 5
65neeq1d 2734 . . . 4
71, 4, 6cbvral 3080 . . 3
8 n0 3794 . . . . 5
9 nfv 1707 . . . . . 6
10 nfre1 2918 . . . . . 6
112nfel2 2637 . . . . . . . . . 10
125eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
1311, 12rspce 3205 . . . . . . . . 9
14 eliun 4335 . . . . . . . . 9
1513, 14sylibr 212 . . . . . . . 8
16 rspe 2915 . . . . . . . 8
1715, 16sylancom 667 . . . . . . 7
1817ex 434 . . . . . 6
199, 10, 18exlimd 1914 . . . . 5
208, 19syl5bi 217 . . . 4
2120ralimia 2848 . . 3
227, 21sylbi 195 . 2
23 ac6c4.1 . . 3
24 ac6c4.2 . . . 4
2523, 24iunex 6780 . . 3
26 eleq1 2529 . . 3
2723, 25, 26ac6 8881 . 2
28 ffn 5736 . . . 4
29 nfv 1707 . . . . . 6
302nfel2 2637 . . . . . 6
31 fveq2 5871 . . . . . . 7
3231, 5eleq12d 2539 . . . . . 6
3329, 30, 32cbvral 3080 . . . . 5
3433biimpri 206 . . . 4
3528, 34anim12i 566 . . 3
3635eximi 1656 . 2
3722, 27, 363syl 20 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434   c0 3784  U_ciun 4330  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  ac6c5  8883  ac9  8884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-en 7537  df-card 8341  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator