Theorem ac6num 8880

Description: A version of ac6 8881 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6num.1

Assertion

Ref	Expression
ac6num

Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,   ,

Proof of Theorem ac6num

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfiu1 4360	. . . . . . . . 9
2	1	nfel1 2635	. . . . . . . 8
3		ssiun2 4373	. . . . . . . . 9
4		ssexg 4598	. . . . . . . . . 10
5	4	expcom 435	. . . . . . . . 9
6	3, 5	syl5 32	. . . . . . . 8
7	2, 6	ralrimi 2857	. . . . . . 7
8		dfiun2g 4362	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6
10		eqid 2457	. . . . . . . 8
11	10	rnmpt 5253	. . . . . . 7
12	11	unieqi 4258	. . . . . 6
13	9, 12	syl6eqr 2516	. . . . 5
14		id 22	. . . . 5
15	13, 14	eqeltrrd 2546	. . . 4
16	15	3ad2ant2 1018	. . 3
17		simp3 998	. . . . 5
18		necom 2726	. . . . . . . 8
19		rabn0 3805	. . . . . . . 8
20		df-ne 2654	. . . . . . . 8
21	18, 19, 20	3bitr3i 275	. . . . . . 7
22	21	ralbii 2888	. . . . . 6
23		ralnex 2903	. . . . . 6
24	22, 23	bitri 249	. . . . 5
25	17, 24	sylib 196	. . . 4
26		0ex 4582	. . . . 5
27	10	elrnmpt 5254	. . . . 5
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4
29	25, 28	sylnibr 305	. . 3
30		ac5num 8438	. . 3
31	16, 29, 30	syl2anc 661	. 2
32		ffn 5736	. . . . . 6
33	32	anim1i 568	. . . . 5
34	7	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7
35		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
36		id 22	. . . . . . . . 9
37	35, 36	eleq12d 2539	. . . . . . . 8
38	10, 37	ralrnmpt 6040	. . . . . . 7
39	34, 38	syl 16	. . . . . 6
40	39	anbi2d 703	. . . . 5
41	33, 40	syl5ib 219	. . . 4
42	3	sseld 3502	. . . . . . . . . . 11
43	42	ralimia 2848	. . . . . . . . . 10
44	43	ad2antll 728	. . . . . . . . 9
45		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
46		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . 11
47	46, 1	nfel 2632	. . . . . . . . . 10
48		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
49	48	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
50	45, 47, 49	cbvral 3080	. . . . . . . . 9
51	44, 50	sylib 196	. . . . . . . 8
52		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
53	52, 46, 48	cbvmpt 4542	. . . . . . . . 9
54	53	fmpt 6052	. . . . . . . 8
55	51, 54	sylib 196	. . . . . . 7
56		simpl1 999	. . . . . . 7
57		simpl2 1000	. . . . . . 7
58		fex2 6755	. . . . . . 7
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1228	. . . . . 6
60		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . 11
61	60	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
62	61	ralimi 2850	. . . . . . . . 9
63	62	ad2antll 728	. . . . . . . 8
64		eqid 2457	. . . . . . . . 9
65	64	fmpt 6052	. . . . . . . 8
66	63, 65	sylib 196	. . . . . . 7
67		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
68	67	elrabsf 3366	. . . . . . . . . 10
69	68	simprbi 464	. . . . . . . . 9
70	69	ralimi 2850	. . . . . . . 8
71	70	ad2antll 728	. . . . . . 7
72	66, 71	jca 532	. . . . . 6
73		feq1 5718	. . . . . . . 8
74		nfmpt1 4541	. . . . . . . . . 10
75	74	nfeq2 2636	. . . . . . . . 9
76		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
77		ac6num.1	. . . . . . . . . . 11
78	76, 77	sbcie 3362	. . . . . . . . . 10
79		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . 12
80		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . 13
81	64	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . 13
82	80, 81	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12
83	79, 82	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . . 11
84	83	sbceq1d 3332	. . . . . . . . . 10
85	78, 84	syl5bbr 259	. . . . . . . . 9
86	75, 85	ralbida 2890	. . . . . . . 8
87	73, 86	anbi12d 710	. . . . . . 7
88	87	spcegv 3195	. . . . . 6
89	59, 72, 88	sylc 60	. . . . 5
90	89	ex 434	. . . 4
91	41, 90	syld 44	. . 3
92	91	exlimdv 1724	. 2
93	31, 92	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  [.wsbc 3327  [_csb 3434  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  ac6  8881  ptcmplem3  20554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-en 7537  df-card 8341