MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6num Unicode version

Theorem ac6num 8880
Description: A version of ac6 8881 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6num.1
Assertion
Ref Expression
ac6num
Distinct variable groups:   , ,   , , ,   ,   ,

Proof of Theorem ac6num
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4360 . . . . . . . . 9
21nfel1 2635 . . . . . . . 8
3 ssiun2 4373 . . . . . . . . 9
4 ssexg 4598 . . . . . . . . . 10
54expcom 435 . . . . . . . . 9
63, 5syl5 32 . . . . . . . 8
72, 6ralrimi 2857 . . . . . . 7
8 dfiun2g 4362 . . . . . . 7
97, 8syl 16 . . . . . 6
10 eqid 2457 . . . . . . . 8
1110rnmpt 5253 . . . . . . 7
1211unieqi 4258 . . . . . 6
139, 12syl6eqr 2516 . . . . 5
14 id 22 . . . . 5
1513, 14eqeltrrd 2546 . . . 4
16153ad2ant2 1018 . . 3
17 simp3 998 . . . . 5
18 necom 2726 . . . . . . . 8
19 rabn0 3805 . . . . . . . 8
20 df-ne 2654 . . . . . . . 8
2118, 19, 203bitr3i 275 . . . . . . 7
2221ralbii 2888 . . . . . 6
23 ralnex 2903 . . . . . 6
2422, 23bitri 249 . . . . 5
2517, 24sylib 196 . . . 4
26 0ex 4582 . . . . 5
2710elrnmpt 5254 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
2925, 28sylnibr 305 . . 3
30 ac5num 8438 . . 3
3116, 29, 30syl2anc 661 . 2
32 ffn 5736 . . . . . 6
3332anim1i 568 . . . . 5
3473ad2ant2 1018 . . . . . . 7
35 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
36 id 22 . . . . . . . . 9
3735, 36eleq12d 2539 . . . . . . . 8
3810, 37ralrnmpt 6040 . . . . . . 7
3934, 38syl 16 . . . . . 6
4039anbi2d 703 . . . . 5
4133, 40syl5ib 219 . . . 4
423sseld 3502 . . . . . . . . . . 11
4342ralimia 2848 . . . . . . . . . 10
4443ad2antll 728 . . . . . . . . 9
45 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
46 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
4746, 1nfel 2632 . . . . . . . . . 10
48 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
4948eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
5045, 47, 49cbvral 3080 . . . . . . . . 9
5144, 50sylib 196 . . . . . . . 8
52 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
5352, 46, 48cbvmpt 4542 . . . . . . . . 9
5453fmpt 6052 . . . . . . . 8
5551, 54sylib 196 . . . . . . 7
56 simpl1 999 . . . . . . 7
57 simpl2 1000 . . . . . . 7
58 fex2 6755 . . . . . . 7
5955, 56, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . 6
60 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . 11
6160sseli 3499 . . . . . . . . . 10
6261ralimi 2850 . . . . . . . . 9
6362ad2antll 728 . . . . . . . 8
64 eqid 2457 . . . . . . . . 9
6564fmpt 6052 . . . . . . . 8
6663, 65sylib 196 . . . . . . 7
67 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
6867elrabsf 3366 . . . . . . . . . 10
6968simprbi 464 . . . . . . . . 9
7069ralimi 2850 . . . . . . . 8
7170ad2antll 728 . . . . . . 7
7266, 71jca 532 . . . . . 6
73 feq1 5718 . . . . . . . 8
74 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . 10
7574nfeq2 2636 . . . . . . . . 9
76 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
77 ac6num.1 . . . . . . . . . . 11
7876, 77sbcie 3362 . . . . . . . . . 10
79 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
80 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
8164fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 81mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
8379, 82sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . 11
8483sbceq1d 3332 . . . . . . . . . 10
8578, 84syl5bbr 259 . . . . . . . . 9
8675, 85ralbida 2890 . . . . . . . 8
8773, 86anbi12d 710 . . . . . . 7
8887spcegv 3195 . . . . . 6
8959, 72, 88sylc 60 . . . . 5
9089ex 434 . . . 4
9141, 90syld 44 . . 3
9291exlimdv 1724 . 2
9331, 92mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  [.wsbc 3327  [_csb 3434  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  ac6  8881  ptcmplem3  20554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-en 7537  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator