Theorem aceq1 8519

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice ax-ac 8860. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side expresses our AC with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aceq1

Distinct variable group:   ,,,,,

Proof of Theorem aceq1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 237	. . . . . . 7
2	1	cbvralv 3084	. . . . . 6
3		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
4	3	anbi2d 703	. . . . . . . . 9
5	4	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
6	5	cbvreuv 3086	. . . . . . 7
7	6	ralbii 2888	. . . . . 6
8	2, 7	bitri 249	. . . . 5
9	8	ralbii 2888	. . . 4
10		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
11	10	anbi1d 704	. . . . . . . 8
12	11	rexbidv 2968	. . . . . . 7
13	12	reueqd 3064	. . . . . 6
14	13	raleqbi1dv 3062	. . . . 5
15	14	cbvralv 3084	. . . 4
16		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
17	16	anbi1d 704	. . . . . . . 8
18	17	rexbidv 2968	. . . . . . 7
19	18	reueqd 3064	. . . . . 6
20	19	raleqbi1dv 3062	. . . . 5
21	20	cbvralv 3084	. . . 4
22	9, 15, 21	3bitr4i 277	. . 3
23	22	exbii 1667	. 2
24		19.21v 1729	. . . . . 6
25		impexp 446	. . . . . . . 8
26		bi2.04 361	. . . . . . . 8
27	25, 26	bitri 249	. . . . . . 7
28	27	albii 1640	. . . . . 6
29		df-eu 2286	. . . . . . . . . . 11
30		df-reu 2814	. . . . . . . . . . 11
31		19.42v 1775	. . . . . . . . . . . . . . 15
32		an42 825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	32, 33	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	34	exbii 1667	. . . . . . . . . . . . . . 15
36		df-rex 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
40	38, 39	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	37, 40	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	41	cbvexv 2024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	36, 42	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	31, 35, 44	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . 14
46	45	bibi1i 314	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	albii 1640	. . . . . . . . . . . 12
48	47	exbii 1667	. . . . . . . . . . 11
49	29, 30, 48	3bitr4i 277	. . . . . . . . . 10
50	49	imbi2i 312	. . . . . . . . 9
51	50	albii 1640	. . . . . . . 8
52		df-ral 2812	. . . . . . . 8
53		nfv 1707	. . . . . . . . 9
54		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
55		nfa1 1897	. . . . . . . . . . 11
56	55	nfex 1948	. . . . . . . . . 10
57	54, 56	nfim 1920	. . . . . . . . 9
58		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
59	58	imbi1d 317	. . . . . . . . 9
60	53, 57, 59	cbval 2021	. . . . . . . 8
61	51, 52, 60	3bitr4i 277	. . . . . . 7
62	61	imbi2i 312	. . . . . 6
63	24, 28, 62	3bitr4i 277	. . . . 5
64	63	albii 1640	. . . 4
65		alcom 1845	. . . 4
66		df-ral 2812	. . . 4
67	64, 65, 66	3bitr4ri 278	. . 3
68	67	exbii 1667	. 2
69	23, 68	bitri 249	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612  E!weu 2282  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809

This theorem is referenced by:  aceq0  8520  dfac1  8535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814