MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1 Unicode version

Theorem ackbij1 8639
Description: The Ackermann bijection, part 1: each natural number can be uniquely coded in binary as a finite set of natural numbers and conversely. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f
Assertion
Ref Expression
ackbij1
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem ackbij1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3
21ackbij1lem17 8637 . 2
3 f1f 5786 . . . 4
4 frn 5742 . . . 4
52, 3, 4mp2b 10 . . 3
6 eleq1 2529 . . . . 5
7 eleq1 2529 . . . . 5
8 eleq1 2529 . . . . 5
9 peano1 6719 . . . . . . . 8
10 ackbij1lem3 8623 . . . . . . . 8
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7
121ackbij1lem13 8633 . . . . . . 7
13 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1413eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
1514rspcev 3210 . . . . . . 7
1611, 12, 15mp2an 672 . . . . . 6
17 f1fn 5787 . . . . . . . 8
182, 17ax-mp 5 . . . . . . 7
19 fvelrnb 5920 . . . . . . 7
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6
2116, 20mpbir 209 . . . . 5
221ackbij1lem18 8638 . . . . . . . . 9
2322adantl 466 . . . . . . . 8
24 suceq 4948 . . . . . . . . . 10
2524eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
2625rexbidv 2968 . . . . . . . 8
2723, 26syl5ibcom 220 . . . . . . 7
2827rexlimdva 2949 . . . . . 6
29 fvelrnb 5920 . . . . . . 7
3018, 29ax-mp 5 . . . . . 6
31 fvelrnb 5920 . . . . . . 7
3218, 31ax-mp 5 . . . . . 6
3328, 30, 323imtr4g 270 . . . . 5
346, 7, 8, 7, 21, 33finds 6726 . . . 4
3534ssriv 3507 . . 3
365, 35eqssi 3519 . 2
37 dff1o5 5830 . 2
382, 36, 37mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  fictb  8646  ackbijnn  13640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator