Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1b Unicode version

Theorem ackbij1b 8640
 Description: The Ackermann bijection, part 1b: the bijection from ackbij1 8639 restricts naturally to the powers of particular naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f
Assertion
Ref Expression
ackbij1b
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem ackbij1b
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij2lem1 8620 . . . . 5
2 pwexg 4636 . . . . 5
3 ackbij.f . . . . . . 7
43ackbij1lem17 8637 . . . . . 6
5 f1imaeng 7595 . . . . . 6
64, 5mp3an1 1311 . . . . 5
71, 2, 6syl2anc 661 . . . 4
8 nnfi 7730 . . . . . 6
9 pwfi 7835 . . . . . 6
108, 9sylib 196 . . . . 5
11 ficardid 8364 . . . . 5
12 ensym 7584 . . . . 5
1310, 11, 123syl 20 . . . 4
14 entr 7587 . . . 4
157, 13, 14syl2anc 661 . . 3
16 onfin2 7729 . . . . . . 7
17 inss2 3718 . . . . . . 7
1816, 17eqsstri 3533 . . . . . 6
19 ficardom 8363 . . . . . . 7
2010, 19syl 16 . . . . . 6
2118, 20sseldi 3501 . . . . 5
22 php3 7723 . . . . . 6
2322ex 434 . . . . 5
2421, 23syl 16 . . . 4
25 sdomnen 7564 . . . 4
2624, 25syl6 33 . . 3
2715, 26mt2d 117 . 2
28 fvex 5881 . . . . . 6
29 ackbij1lem3 8623 . . . . . . . . 9
30 elpwi 4021 . . . . . . . . 9
313ackbij1lem12 8632 . . . . . . . . 9
3229, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . 8
333ackbij1lem10 8630 . . . . . . . . . . 11
34 peano1 6719 . . . . . . . . . . 11
3533, 34f0cli 6042 . . . . . . . . . 10
36 nnord 6708 . . . . . . . . . 10
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3833, 34f0cli 6042 . . . . . . . . . 10
39 nnord 6708 . . . . . . . . . 10
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9
41 ordsucsssuc 6658 . . . . . . . . 9
4237, 40, 41mp2an 672 . . . . . . . 8
4332, 42sylib 196 . . . . . . 7
443ackbij1lem14 8634 . . . . . . . . 9
453ackbij1lem8 8628 . . . . . . . . 9
4644, 45eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
4746adantr 465 . . . . . . 7
4843, 47sseqtrd 3539 . . . . . 6
49 sucssel 4975 . . . . . 6
5028, 48, 49mpsyl 63 . . . . 5
5150ralrimiva 2871 . . . 4
52 f1fun 5788 . . . . . 6
534, 52ax-mp 5 . . . . 5
54 f1dm 5790 . . . . . . 7
554, 54ax-mp 5 . . . . . 6
561, 55syl6sseqr 3550 . . . . 5
57 funimass4 5924 . . . . 5
5853, 56, 57sylancr 663 . . . 4
5951, 58mpbird 232 . . 3
60 sspss 3602 . . 3
6159, 60sylib 196 . 2
62 orel1 382 . 2
6327, 61, 62sylc 60 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  8641 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569
 Copyright terms: Public domain W3C validator