Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2 Unicode version

Theorem ackbij2 8644
 Description: The Ackermann bijection, part 2: hereditarily finite sets can be represented by recursive binary notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f
ackbij.g
ackbij.h
Assertion
Ref Expression
ackbij2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem ackbij2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . . 6
2 fvex 5881 . . . . . 6
31, 2fun11iun 6760 . . . . 5
4 ackbij.f . . . . . . . . 9
5 ackbij.g . . . . . . . . 9
64, 5ackbij2lem2 8641 . . . . . . . 8
7 f1of1 5820 . . . . . . . 8
86, 7syl 16 . . . . . . 7
9 ordom 6709 . . . . . . . 8
10 r1fin 8212 . . . . . . . . 9
11 ficardom 8363 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8
13 ordelss 4899 . . . . . . . 8
149, 12, 13sylancr 663 . . . . . . 7
15 f1ss 5791 . . . . . . 7
168, 14, 15syl2anc 661 . . . . . 6
17 nnord 6708 . . . . . . . . 9
18 nnord 6708 . . . . . . . . 9
19 ordtri2or2 4979 . . . . . . . . 9
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . . . . 8
214, 5ackbij2lem4 8643 . . . . . . . . . . 11
2221ex 434 . . . . . . . . . 10
2322ancoms 453 . . . . . . . . 9
244, 5ackbij2lem4 8643 . . . . . . . . . 10
2524ex 434 . . . . . . . . 9
2623, 25orim12d 838 . . . . . . . 8
2720, 26mpd 15 . . . . . . 7
2827ralrimiva 2871 . . . . . 6
2916, 28jca 532 . . . . 5
303, 29mprg 2820 . . . 4
31 rdgfun 7101 . . . . . 6
32 funiunfv 6160 . . . . . . 7
3332eqcomd 2465 . . . . . 6
34 f1eq1 5781 . . . . . 6
3531, 33, 34mp2b 10 . . . . 5
36 r1funlim 8205 . . . . . . 7
3736simpli 458 . . . . . 6
38 funiunfv 6160 . . . . . 6
39 f1eq2 5782 . . . . . 6
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . 5
4135, 40bitr4i 252 . . . 4
4230, 41mpbir 209 . . 3
43 rnuni 5422 . . . 4
44 eliun 4335 . . . . . 6
45 df-rex 2813 . . . . . 6
46 funfn 5622 . . . . . . . . . . . 12
4731, 46mpbi 208 . . . . . . . . . . 11
48 rdgdmlim 7102 . . . . . . . . . . . 12
49 limomss 6705 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
51 fvelimab 5929 . . . . . . . . . . 11
5247, 50, 51mp2an 672 . . . . . . . . . 10
534, 5ackbij2lem2 8641 . . . . . . . . . . . . . 14
54 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
55 forn 5803 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 54, 553syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
57 r1fin 8212 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 ficardom 8363 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
60 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . 14
619, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
6256, 61eqsstrd 3537 . . . . . . . . . . . 12
63 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . 13
6463sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . 12
6562, 64syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11
6665rexlimiv 2943 . . . . . . . . . 10
6752, 66sylbi 195 . . . . . . . . 9
6867sselda 3503 . . . . . . . 8
6968exlimiv 1722 . . . . . . 7
70 peano2 6720 . . . . . . . . 9
71 fnfvima 6150 . . . . . . . . . 10
7247, 50, 71mp3an12 1314 . . . . . . . . 9
7370, 72syl 16 . . . . . . . 8
74 vex 3112 . . . . . . . . . 10
75 cardnn 8365 . . . . . . . . . . . 12
76 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
7736simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
78 limomss 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 onssr1 8270 . . . . . . . . . . . . . . 15
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
83 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . 14
8476, 82, 83mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . 13
85 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
88 r1fin 8212 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 finnum 8350 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
91 carddom2 8379 . . . . . . . . . . . . . 14
9287, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9384, 92mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
9475, 93eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . . 11
9570, 94syl 16 . . . . . . . . . 10
96 sucssel 4975 . . . . . . . . . 10
9774, 95, 96mpsyl 63 . . . . . . . . 9
984, 5ackbij2lem2 8641 . . . . . . . . . 10
99 f1ofo 5828 . . . . . . . . . 10
100 forn 5803 . . . . . . . . . 10
10170, 98, 99, 1004syl 21 . . . . . . . . 9
10297, 101eleqtrrd 2548 . . . . . . . 8
103 fvex 5881 . . . . . . . . 9
104 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
105 rneq 5233 . . . . . . . . . . 11
106105eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
107104, 106anbi12d 710 . . . . . . . . 9
108103, 107spcev 3201 . . . . . . . 8
10973, 102, 108syl2anc 661 . . . . . . 7
11069, 109impbii 188 . . . . . 6
11144, 45, 1103bitri 271 . . . . 5
112111eqriv 2453 . . . 4
11343, 112eqtri 2486 . . 3
114 dff1o5 5830 . . 3
11542, 113, 114mpbir2an 920 . 2
116 ackbij.h . . 3
117 f1oeq1 5812 . . 3
118116, 117ax-mp 5 . 2
119115, 118mpbir 209 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593   com 6700  rec`crdg 7094   cdom 7534   cfn 7536   cr1 8201   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  r1om  8645 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-cda 8569
 Copyright terms: Public domain W3C validator