MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem2 Unicode version

Theorem ackbij2lem2 8641
Description: Lemma for ackbij2 8644. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f
ackbij.g
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem ackbij2lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . 3
2 fveq2 5871 . . 3
32fveq2d 5875 . . 3
41, 2, 3f1oeq123d 5818 . 2
5 fveq2 5871 . . 3
6 fveq2 5871 . . 3
76fveq2d 5875 . . 3
85, 6, 7f1oeq123d 5818 . 2
9 fveq2 5871 . . 3
10 fveq2 5871 . . 3
1110fveq2d 5875 . . 3
129, 10, 11f1oeq123d 5818 . 2
13 fveq2 5871 . . 3
14 fveq2 5871 . . 3
1514fveq2d 5875 . . 3
1613, 14, 15f1oeq123d 5818 . 2
17 f1o0 5855 . . 3
18 0ex 4582 . . . . . 6
1918rdg0 7106 . . . . 5
20 f1oeq1 5812 . . . . 5
2119, 20ax-mp 5 . . . 4
22 r10 8207 . . . . 5
2322fveq2i 5874 . . . . . 6
24 card0 8360 . . . . . 6
2523, 24eqtri 2486 . . . . 5
26 f1oeq23 5815 . . . . 5
2722, 25, 26mp2an 672 . . . 4
2821, 27bitri 249 . . 3
2917, 28mpbir 209 . 2
30 ackbij.f . . . . . . . . . 10
3130ackbij1lem17 8637 . . . . . . . . 9
3231a1i 11 . . . . . . . 8
33 r1fin 8212 . . . . . . . . . 10
34 ficardom 8363 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9
36 ackbij2lem1 8620 . . . . . . . . 9
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8
38 f1ores 5835 . . . . . . . 8
3932, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7
4030ackbij1b 8640 . . . . . . . . . 10
4135, 40syl 16 . . . . . . . . 9
42 ficardid 8364 . . . . . . . . . 10
43 pwen 7710 . . . . . . . . . 10
44 carden2b 8369 . . . . . . . . . 10
4533, 42, 43, 444syl 21 . . . . . . . . 9
4641, 45eqtrd 2498 . . . . . . . 8
47 f1oeq3 5814 . . . . . . . 8
4846, 47syl 16 . . . . . . 7
4939, 48mpbid 210 . . . . . 6
5049adantr 465 . . . . 5
51 f1opw 6529 . . . . . 6
5251adantl 466 . . . . 5
53 f1oco 5843 . . . . 5
5450, 52, 53syl2anc 661 . . . 4
55 frsuc 7121 . . . . . . . . 9
56 peano2 6720 . . . . . . . . . 10
57 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
5856, 57syl 16 . . . . . . . . 9
59 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
6059fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
61 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
62 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . . . 14
6362pweqd 4017 . . . . . . . . . . . . 13
64 imaeq1 5337 . . . . . . . . . . . . . 14
6564fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 65mpteq12dv 4530 . . . . . . . . . . . 12
67 ackbij.g . . . . . . . . . . . 12
6861dmex 6733 . . . . . . . . . . . . . 14
6968pwex 4635 . . . . . . . . . . . . 13
7069mptex 6143 . . . . . . . . . . . 12
7166, 67, 70fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
7261, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
7360, 72syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
7455, 58, 733eqtr3d 2506 . . . . . . . 8
7574adantr 465 . . . . . . 7
76 f1odm 5825 . . . . . . . . . . 11
7776adantl 466 . . . . . . . . . 10
7877pweqd 4017 . . . . . . . . 9
7978mpteq1d 4533 . . . . . . . 8
80 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
81 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
8280, 81fnmpti 5714 . . . . . . . . . 10
8382a1i 11 . . . . . . . . 9
84 f1ofn 5822 . . . . . . . . . 10
8554, 84syl 16 . . . . . . . . 9
86 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . 14
8752, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8887ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . 12
89 fvres 5885 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11
91 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14
92 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
93 imaexg 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15
9461, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
9591, 92, 94fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . 13
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
9796fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
9890, 97eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
99 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
10087, 99sylan 471 . . . . . . . . . 10
101 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . 13
102101fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
103 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
104102, 81, 103fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
105104adantl 466 . . . . . . . . . 10
10698, 100, 1053eqtr4rd 2509 . . . . . . . . 9
10783, 85, 106eqfnfvd 5984 . . . . . . . 8
10879, 107eqtrd 2498 . . . . . . 7
10975, 108eqtrd 2498 . . . . . 6
110 f1oeq1 5812 . . . . . 6
111109, 110syl 16 . . . . 5
112 nnon 6706 . . . . . . . 8
113 r1suc 8209 . . . . . . . 8
114112, 113syl 16 . . . . . . 7
115114fveq2d 5875 . . . . . . 7
116 f1oeq23 5815 . . . . . . 7
117114, 115, 116syl2anc 661 . . . . . 6
118117adantr 465 . . . . 5
119111, 118bitrd 253 . . . 4
12054, 119mpbird 232 . . 3
121120ex 434 . 2
1224, 8, 12, 16, 29, 121finds 6726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cfn 7536   cr1 8201   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  ackbij2lem3  8642  ackbij2  8644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-r1 8203  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator