MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem3 Unicode version

Theorem ackbij2lem3 8642
Description: Lemma for ackbij2 8644. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f
ackbij.g
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem3
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem ackbij2lem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . 4
2 suceq 4948 . . . . . 6
32fveq2d 5875 . . . . 5
4 fveq2 5871 . . . . 5
53, 4reseq12d 5279 . . . 4
61, 5eqeq12d 2479 . . 3
7 fveq2 5871 . . . 4
8 suceq 4948 . . . . . 6
98fveq2d 5875 . . . . 5
10 fveq2 5871 . . . . 5
119, 10reseq12d 5279 . . . 4
127, 11eqeq12d 2479 . . 3
13 fveq2 5871 . . . 4
14 suceq 4948 . . . . . 6
1514fveq2d 5875 . . . . 5
16 fveq2 5871 . . . . 5
1715, 16reseq12d 5279 . . . 4
1813, 17eqeq12d 2479 . . 3
19 fveq2 5871 . . . 4
20 suceq 4948 . . . . . 6
2120fveq2d 5875 . . . . 5
22 fveq2 5871 . . . . 5
2321, 22reseq12d 5279 . . . 4
2419, 23eqeq12d 2479 . . 3
25 res0 5283 . . . 4
26 r10 8207 . . . . 5
2726reseq2i 5275 . . . 4
28 0ex 4582 . . . . 5
2928rdg0 7106 . . . 4
3025, 27, 293eqtr4ri 2497 . . 3
31 peano2 6720 . . . . . . . 8
32 ackbij.f . . . . . . . . 9
33 ackbij.g . . . . . . . . 9
3432, 33ackbij2lem2 8641 . . . . . . . 8
3531, 34syl 16 . . . . . . 7
36 f1ofn 5822 . . . . . . 7
3735, 36syl 16 . . . . . 6
3837adantr 465 . . . . 5
39 peano2 6720 . . . . . . . 8
4032, 33ackbij2lem2 8641 . . . . . . . 8
41 f1ofn 5822 . . . . . . . 8
4231, 39, 40, 414syl 21 . . . . . . 7
43 nnon 6706 . . . . . . . . 9
4431, 43syl 16 . . . . . . . 8
45 r1sssuc 8222 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
47 fnssres 5699 . . . . . . 7
4842, 46, 47syl2anc 661 . . . . . 6
4948adantr 465 . . . . 5
50 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 r1suc 8209 . . . . . . . . . . . . . . 15
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5352eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13
5453biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
5554elpwid 4022 . . . . . . . . . . 11
56 resima2 5312 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10
5857fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
59 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
6059resex 5322 . . . . . . . . . . . 12
61 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261pweqd 4017 . . . . . . . . . . . . . 14
63 imaeq1 5337 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
6562, 64mpteq12dv 4530 . . . . . . . . . . . . 13
6660dmex 6733 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766pwex 4635 . . . . . . . . . . . . . 14
6867mptex 6143 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 33, 68fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
7060, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
7170fveq1i 5872 . . . . . . . . . 10
72 r1sssuc 8222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7350, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7537, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
7877pweqd 4017 . . . . . . . . . . . . 13
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8054, 79eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11
81 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . 13
8281fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
83 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
84 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
8582, 83, 84fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . 10
8771, 86syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
88 dmeq 5208 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988pweqd 4017 . . . . . . . . . . . . . 14
90 imaeq1 5337 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
9289, 91mpteq12dv 4530 . . . . . . . . . . . . 13
9359dmex 6733 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493pwex 4635 . . . . . . . . . . . . . 14
9594mptex 6143 . . . . . . . . . . . . 13
9692, 33, 95fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12
9759, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
9897fveq1i 5872 . . . . . . . . . 10
99 r1tr 8215 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
101 dftr4 4550 . . . . . . . . . . . . . 14
102100, 101sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
103102sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
104 f1odm 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15
10535, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
106105pweqd 4017 . . . . . . . . . . . . 13
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
108103, 107eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11
109 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . 13
110109fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
111 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
112 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
113110, 111, 112fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
114108, 113syl 16 . . . . . . . . . 10
11598, 114syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
11658, 87, 1153eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
117116adantlr 714 . . . . . . 7
118 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
119118fveq1d 5873 . . . . . . . 8
120119ad2antlr 726 . . . . . . 7
121 rdgsuc 7109 . . . . . . . . . 10
12244, 121syl 16 . . . . . . . . 9
123122fveq1d 5873 . . . . . . . 8
124123ad2antrr 725 . . . . . . 7
125117, 120, 1243eqtr4rd 2509 . . . . . 6
126 fvres 5885 . . . . . . 7
127126adantl 466 . . . . . 6
128 rdgsuc 7109 . . . . . . . . 9
12950, 128syl 16 . . . . . . . 8
130129fveq1d 5873 . . . . . . 7
131130ad2antrr 725 . . . . . 6
132125, 127, 1313eqtr4rd 2509 . . . . 5
13338, 49, 132eqfnfvd 5984 . . . 4
134133ex 434 . . 3
1356, 12, 18, 24, 30, 134finds 6726 . 2
136 resss 5302 . 2
137135, 136syl6eqss 3553 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  Trwtr 4545   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   cfn 7536   cr1 8201   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  ackbij2lem4  8643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-r1 8203  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator