Theorem ackbijnn 13640

Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 8639 onto the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbijnn.1

Assertion

Ref	Expression
ackbijnn

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ackbijnn

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgval2 12446	. . . 4
2	1	hashgf1o 12081	. . 3
3		sneq 4039	. . . . . . . . . 10
4		pweq 4015	. . . . . . . . . 10
5	3, 4	xpeq12d 5029	. . . . . . . . 9
6	5	cbviunv 4369	. . . . . . . 8
7		iuneq1 4344	. . . . . . . 8
8	6, 7	syl5eq 2510	. . . . . . 7
9	8	fveq2d 5875	. . . . . 6
10	9	cbvmptv 4543	. . . . 5
11	10	ackbij1 8639	. . . 4
12		f1ocnv 5833	. . . . . 6
13	2, 12	ax-mp 5	. . . . 5
14		f1opwfi 7844	. . . . 5
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4
16		f1oco 5843	. . . 4
17	11, 15, 16	mp2an 672	. . 3
18		f1oco 5843	. . 3
19	2, 17, 18	mp2an 672	. 2
20		inss2 3718	. . . . . . . . . 10
21		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . 13
22	15, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
23		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	fmpt 6052	. . . . . . . . . . . 12
25	22, 24	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11
26	25	rspec 2825	. . . . . . . . . 10
27	20, 26	sseldi 3501	. . . . . . . . 9
28		snfi 7616	. . . . . . . . . . 11
29		cnvimass 5362	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		dmhashres 12414	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	sseqtri 3535	. . . . . . . . . . . . . 14
32		onfin2 7729	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		inss2 3718	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	32, 33	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . . 14
35	31, 34	sstri 3512	. . . . . . . . . . . . 13
36		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
37	35, 36	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . 12
38		pwfi 7835	. . . . . . . . . . . 12
39	37, 38	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
40		xpfi 7811	. . . . . . . . . . 11
41	28, 39, 40	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
42	41	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9
43		iunfi 7828	. . . . . . . . 9
44	27, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . 8
45		ficardom 8363	. . . . . . . 8
46	44, 45	syl 16	. . . . . . 7
47		fvres 5885	. . . . . . 7
48	46, 47	syl 16	. . . . . 6
49		hashcard 12427	. . . . . . 7
50	44, 49	syl 16	. . . . . 6
51		xp1st 6830	. . . . . . . . . . . 12
52		elsni 4054	. . . . . . . . . . . 12
53	51, 52	syl 16	. . . . . . . . . . 11
54	53	rgen 2817	. . . . . . . . . 10
55	54	rgenw 2818	. . . . . . . . 9
56		invdisj 4441	. . . . . . . . 9
57	55, 56	mp1i 12	. . . . . . . 8
58	27, 41, 57	hashiun 13636	. . . . . . 7
59		sneq 4039	. . . . . . . . . 10
60		pweq 4015	. . . . . . . . . 10
61	59, 60	xpeq12d 5029	. . . . . . . . 9
62	61	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
63		inss2 3718	. . . . . . . . 9
64	63	sseli 3499	. . . . . . . 8
65		f1of1 5820	. . . . . . . . . 10
66	13, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
67		inss1 3717	. . . . . . . . . . 11
68	67	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
69	68	elpwid 4022	. . . . . . . . 9
70		f1ores 5835	. . . . . . . . 9
71	66, 69, 70	sylancr 663	. . . . . . . 8
72		fvres 5885	. . . . . . . . 9
73	72	adantl 466	. . . . . . . 8
74		hashcl 12428	. . . . . . . . 9
75		nn0cn 10830	. . . . . . . . 9
76	41, 74, 75	3syl 20	. . . . . . . 8
77	62, 64, 71, 73, 76	fsumf1o 13545	. . . . . . 7
78		snfi 7616	. . . . . . . . . 10
79	69	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . 13
80		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . 15
81	13, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
82	81	ffvelrni 6030	. . . . . . . . . . . . 13
83	79, 82	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
84	34, 83	sseldi 3501	. . . . . . . . . . 11
85		pwfi 7835	. . . . . . . . . . 11
86	84, 85	sylib 196	. . . . . . . . . 10
87		hashxp 12492	. . . . . . . . . 10
88	78, 86, 87	sylancr 663	. . . . . . . . 9
89		hashsng 12438	. . . . . . . . . . 11
90	83, 89	syl 16	. . . . . . . . . 10
91		hashpw 12494	. . . . . . . . . . . 12
92	84, 91	syl 16	. . . . . . . . . . 11
93		fvres 5885	. . . . . . . . . . . . . 14
94	83, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
95		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . . . . . . 14
96	2, 79, 95	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13
97	94, 96	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . 12
98	97	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
99	92, 98	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
100	90, 99	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
101		2cn 10631	. . . . . . . . . . 11
102		expcl 12184	. . . . . . . . . . 11
103	101, 79, 102	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
104	103	mulid2d 9635	. . . . . . . . 9
105	88, 100, 104	3eqtrd 2502	. . . . . . . 8
106	105	sumeq2dv 13525	. . . . . . 7
107	58, 77, 106	3eqtrd 2502	. . . . . 6
108	48, 50, 107	3eqtrd 2502	. . . . 5
109	108	mpteq2ia 4534	. . . 4
110	46	adantl 466	. . . . . 6
111	26	adantl 466	. . . . . . 7
112		eqidd 2458	. . . . . . 7
113		eqidd 2458	. . . . . . 7
114		iuneq1 4344	. . . . . . . 8
115	114	fveq2d 5875	. . . . . . 7
116	111, 112, 113, 115	fmptco 6064	. . . . . 6
117		f1of 5821	. . . . . . . 8
118	2, 117	mp1i 12	. . . . . . 7
119	118	feqmptd 5926	. . . . . 6
120		fveq2 5871	. . . . . 6
121	110, 116, 119, 120	fmptco 6064	. . . . 5
122	121	trud 1404	. . . 4
123		ackbijnn.1	. . . 4
124	109, 122, 123	3eqtr4i 2496	. . 3
125		f1oeq1 5812	. . 3
126	124, 125	ax-mp 5	. 2
127	19, 126	mpbi 208	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  wtru 1396  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422  e.cmpt 4510  con0 4883  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  c1st 6798  cfn 7536  ccrd 8337  cc 9511  1c1 9514  cmul 9518  2c2 10610  cn0 10820  cexp 12166  chash 12405  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  bitsinv2  14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509