MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbijnn Unicode version

Theorem ackbijnn 13640
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 8639 onto the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1
Assertion
Ref Expression
ackbijnn
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 12446 . . . 4
21hashgf1o 12081 . . 3
3 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
4 pweq 4015 . . . . . . . . . 10
53, 4xpeq12d 5029 . . . . . . . . 9
65cbviunv 4369 . . . . . . . 8
7 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
86, 7syl5eq 2510 . . . . . . 7
98fveq2d 5875 . . . . . 6
109cbvmptv 4543 . . . . 5
1110ackbij1 8639 . . . 4
12 f1ocnv 5833 . . . . . 6
132, 12ax-mp 5 . . . . 5
14 f1opwfi 7844 . . . . 5
1513, 14ax-mp 5 . . . 4
16 f1oco 5843 . . . 4
1711, 15, 16mp2an 672 . . 3
18 f1oco 5843 . . 3
192, 17, 18mp2an 672 . 2
20 inss2 3718 . . . . . . . . . 10
21 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . 13
2215, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
23 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
2423fmpt 6052 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24mpbir 209 . . . . . . . . . . 11
2625rspec 2825 . . . . . . . . . 10
2720, 26sseldi 3501 . . . . . . . . 9
28 snfi 7616 . . . . . . . . . . 11
29 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 dmhashres 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30sseqtri 3535 . . . . . . . . . . . . . 14
32 onfin2 7729 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15
3432, 33eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . 14
3531, 34sstri 3512 . . . . . . . . . . . . 13
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36sseldi 3501 . . . . . . . . . . . 12
38 pwfi 7835 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38sylib 196 . . . . . . . . . . 11
40 xpfi 7811 . . . . . . . . . . 11
4128, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . . 10
4241ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
43 iunfi 7828 . . . . . . . . 9
4427, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8
45 ficardom 8363 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
47 fvres 5885 . . . . . . 7
4846, 47syl 16 . . . . . 6
49 hashcard 12427 . . . . . . 7
5044, 49syl 16 . . . . . 6
51 xp1st 6830 . . . . . . . . . . . 12
52 elsni 4054 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5453rgen 2817 . . . . . . . . . 10
5554rgenw 2818 . . . . . . . . 9
56 invdisj 4441 . . . . . . . . 9
5755, 56mp1i 12 . . . . . . . 8
5827, 41, 57hashiun 13636 . . . . . . 7
59 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
60 pweq 4015 . . . . . . . . . 10
6159, 60xpeq12d 5029 . . . . . . . . 9
6261fveq2d 5875 . . . . . . . 8
63 inss2 3718 . . . . . . . . 9
6463sseli 3499 . . . . . . . 8
65 f1of1 5820 . . . . . . . . . 10
6613, 65ax-mp 5 . . . . . . . . 9
67 inss1 3717 . . . . . . . . . . 11
6867sseli 3499 . . . . . . . . . 10
6968elpwid 4022 . . . . . . . . 9
70 f1ores 5835 . . . . . . . . 9
7166, 69, 70sylancr 663 . . . . . . . 8
72 fvres 5885 . . . . . . . . 9
7372adantl 466 . . . . . . . 8
74 hashcl 12428 . . . . . . . . 9
75 nn0cn 10830 . . . . . . . . 9
7641, 74, 753syl 20 . . . . . . . 8
7762, 64, 71, 73, 76fsumf1o 13545 . . . . . . 7
78 snfi 7616 . . . . . . . . . 10
7969sselda 3503 . . . . . . . . . . . . 13
80 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15
8113, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
8281ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . 13
8379, 82syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8434, 83sseldi 3501 . . . . . . . . . . 11
85 pwfi 7835 . . . . . . . . . . 11
8684, 85sylib 196 . . . . . . . . . 10
87 hashxp 12492 . . . . . . . . . 10
8878, 86, 87sylancr 663 . . . . . . . . 9
89 hashsng 12438 . . . . . . . . . . 11
9083, 89syl 16 . . . . . . . . . 10
91 hashpw 12494 . . . . . . . . . . . 12
9284, 91syl 16 . . . . . . . . . . 11
93 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . 14
9483, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
95 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . 14
962, 79, 95sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
9794, 96eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12
9897oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
9992, 98eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
10090, 99oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
101 2cn 10631 . . . . . . . . . . 11
102 expcl 12184 . . . . . . . . . . 11
103101, 79, 102sylancr 663 . . . . . . . . . 10
104103mulid2d 9635 . . . . . . . . 9
10588, 100, 1043eqtrd 2502 . . . . . . . 8
106105sumeq2dv 13525 . . . . . . 7
10758, 77, 1063eqtrd 2502 . . . . . 6
10848, 50, 1073eqtrd 2502 . . . . 5
109108mpteq2ia 4534 . . . 4
11046adantl 466 . . . . . 6
11126adantl 466 . . . . . . 7
112 eqidd 2458 . . . . . . 7
113 eqidd 2458 . . . . . . 7
114 iuneq1 4344 . . . . . . . 8
115114fveq2d 5875 . . . . . . 7
116111, 112, 113, 115fmptco 6064 . . . . . 6
117 f1of 5821 . . . . . . . 8
1182, 117mp1i 12 . . . . . . 7
119118feqmptd 5926 . . . . . 6
120 fveq2 5871 . . . . . 6
121110, 116, 119, 120fmptco 6064 . . . . 5
122121trud 1404 . . . 4
123 ackbijnn.1 . . . 4
124109, 122, 1233eqtr4i 2496 . . 3
125 f1oeq1 5812 . . 3
126124, 125ax-mp 5 . 2
12719, 126mpbi 208 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395   wtru 1396  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422  e.cmpt 4510   con0 4883  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   c1st 6798   cfn 7536   ccrd 8337   cc 9511  1c1 9514   cmul 9518  2c2 10610   cn0 10820   cexp 12166   chash 12405  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  bitsinv2  14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator