MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom Unicode version

Theorem acndom 8453
Description: A set with long choice sequences also has shorter choice sequences, where "shorter" here means the new index set is dominated by the old index set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom

Proof of Theorem acndom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7547 . 2
2 neq0 3795 . . . . 5
3 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11
4 elmapi 7460 . . . . . . . . . . . . . . 15
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
6 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 f1f1orn 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106, 7, 8, 94syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1110ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
1411, 13ifclda 3973 . . . . . . . . . . . . . 14
155, 14ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . 13
16 eldifsn 4155 . . . . . . . . . . . . . 14
17 elpwi 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2120ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
22 acni2 8448 . . . . . . . . . . 11
233, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
24 f1dm 5790 . . . . . . . . . . . . . 14
25 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625dmex 6733 . . . . . . . . . . . . . 14
2724, 26syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . 13
28273ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
30 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3430, 31, 32, 334syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837ralbiia 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15
3934, 38syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . 14
40 f1fn 5787 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4342fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4441, 43eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544ralrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . 15
4630, 40, 453syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
4739, 46sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13
4830, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 f1ocnvfv1 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5048, 49sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . 14
5352ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . 13
5447, 53sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12
5554impr 619 . . . . . . . . . . 11
56 acnlem 8450 . . . . . . . . . . 11
5729, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5823, 57exlimddv 1726 . . . . . . . . 9
5958ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
60 elex 3118 . . . . . . . . . 10
61 isacn 8446 . . . . . . . . . 10
6260, 27, 61syl2anr 478 . . . . . . . . 9
63623adant2 1015 . . . . . . . 8
6459, 63mpbird 232 . . . . . . 7
65643exp 1195 . . . . . 6
6665exlimdv 1724 . . . . 5
672, 66syl5bi 217 . . . 4
68 acneq 8445 . . . . . . 7
69 0fin 7767 . . . . . . . 8
70 finacn 8452 . . . . . . . 8
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7
7268, 71syl6eq 2514 . . . . . 6
7372eleq2d 2527 . . . . 5
7460, 73syl5ibr 221 . . . 4
7567, 74pm2.61d2 160 . . 3
7675exlimiv 1722 . 2
771, 76syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cdom 7534   cfn 7536  AC_wacn 8340
This theorem is referenced by:  acnnum  8454  acnen  8455  iunctb  8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator