MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Unicode version

Theorem acndom2 8456
Description: A set smaller than one with choice sequences of length also has choice sequences of length . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7547 . 2
2 simplr 755 . . . . . . . 8
3 imassrn 5353 . . . . . . . . . . 11
4 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12
5 f1f 5786 . . . . . . . . . . . 12
6 frn 5742 . . . . . . . . . . . 12
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . 11
83, 7syl5ss 3514 . . . . . . . . . 10
9 elmapi 7460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211eldifad 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . 14
14 f1dm 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15
154, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
1613, 15sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . 13
17 dfss1 3702 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
19 eldifsni 4156 . . . . . . . . . . . . 13
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . 11
22 imadisj 5361 . . . . . . . . . . . 12
2322necon3bii 2725 . . . . . . . . . . 11
2421, 23sylibr 212 . . . . . . . . . 10
258, 24jca 532 . . . . . . . . 9
2625ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
27 acni2 8448 . . . . . . . 8
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7
29 acnrcl 8444 . . . . . . . . 9
3029ad3antlr 730 . . . . . . . 8
31 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 f1f1orn 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
34 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
353, 34sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . 14
36 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . 14
3733, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
3837, 34eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
39 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15
4133, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
4241, 35ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . 13
4313ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13
44 f1elima 6171 . . . . . . . . . . . . 13
4531, 42, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
4638, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
4746expr 615 . . . . . . . . . 10
4847ralimdva 2865 . . . . . . . . 9
4948impr 619 . . . . . . . 8
50 acnlem 8450 . . . . . . . 8
5130, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7
5228, 51exlimddv 1726 . . . . . 6
5352ralrimiva 2871 . . . . 5
54 vex 3112 . . . . . . . 8
5554dmex 6733 . . . . . . 7
5614, 55syl6eqelr 2554 . . . . . 6
57 isacn 8446 . . . . . 6
5856, 29, 57syl2an 477 . . . . 5
5953, 58mpbird 232 . . . 4
6059ex 434 . . 3
6160exlimiv 1722 . 2
621, 61syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cdom 7534  AC_wacn 8340
This theorem is referenced by:  acnen2  8457  dfac13  8543  iundomg  8937  iunctb  8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-dom 7538  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator