Theorem acni2 8448

Description: The property of being a choice set of length . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,

Proof of Theorem acni2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4155	. . . . . . 7
2		elpw2g 4615	. . . . . . . 8
3	2	anbi1d 704	. . . . . . 7
4	1, 3	syl5bb 257	. . . . . 6
5	4	ralbidv 2896	. . . . 5
6	5	biimpar 485	. . . 4
7		eqid 2457	. . . . 5
8	7	fmpt 6052	. . . 4
9	6, 8	sylib 196	. . 3
10		acni 8447	. . 3
11	9, 10	syldan 470	. 2
12		nffvmpt1 5879	. . . . . 6
13	12	nfel2 2637	. . . . 5
14		nfv 1707	. . . . 5
15		fveq2 5871	. . . . . 6
16		fveq2 5871	. . . . . 6
17	15, 16	eleq12d 2539	. . . . 5
18	13, 14, 17	cbvral 3080	. . . 4
19		simplr 755	. . . . . . . . . 10
20		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	21, 22	ssexd 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	7	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25	20, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
26	25	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	26	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
31		ralbi 2988	. . . . . . . . . . . 12
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . 11
33	32	biimpa 484	. . . . . . . . . 10
34		ssel 3497	. . . . . . . . . . . 12
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
36	35	ral2imi 2845	. . . . . . . . . 10
37	19, 33, 36	sylc 60	. . . . . . . . 9
38		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
39	38	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
40	39	rspccva 3209	. . . . . . . . 9
41	37, 40	sylan 471	. . . . . . . 8
42		eqid 2457	. . . . . . . 8
43	41, 42	fmptd 6055	. . . . . . 7
44		simpll 753	. . . . . . . 8
45		acnrcl 8444	. . . . . . . 8
46	44, 45	syl 16	. . . . . . 7
47		fex2 6755	. . . . . . 7
48	43, 46, 44, 47	syl3anc 1228	. . . . . 6
49		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
50	15, 42, 49	fvmpt 5956	. . . . . . . . . 10
51	50	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
52	51	ralbiia 2887	. . . . . . . 8
53	33, 52	sylibr 212	. . . . . . 7
54	43, 53	jca 532	. . . . . 6
55		feq1 5718	. . . . . . . 8
56		fveq1 5870	. . . . . . . . . 10
57	56	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
58	57	ralbidv 2896	. . . . . . . 8
59	55, 58	anbi12d 710	. . . . . . 7
60	59	spcegv 3195	. . . . . 6
61	48, 54, 60	sylc 60	. . . . 5
62	61	ex 434	. . . 4
63	18, 62	syl5bi 217	. . 3
64	63	exlimdv 1724	. 2
65	11, 64	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  AC_wacn 8340

This theorem is referenced by:  acni3  8449  acndom  8453  acnnum  8454  acndom2  8456  dfacacn  8542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-acn 8344