MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni2 Unicode version

Theorem acni2 8448
Description: The property of being a choice set of length . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni2
Distinct variable groups:   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem acni2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4155 . . . . . . 7
2 elpw2g 4615 . . . . . . . 8
32anbi1d 704 . . . . . . 7
41, 3syl5bb 257 . . . . . 6
54ralbidv 2896 . . . . 5
65biimpar 485 . . . 4
7 eqid 2457 . . . . 5
87fmpt 6052 . . . 4
96, 8sylib 196 . . 3
10 acni 8447 . . 3
119, 10syldan 470 . 2
12 nffvmpt1 5879 . . . . . 6
1312nfel2 2637 . . . . 5
14 nfv 1707 . . . . 5
15 fveq2 5871 . . . . . 6
16 fveq2 5871 . . . . . 6
1715, 16eleq12d 2539 . . . . 5
1813, 14, 17cbvral 3080 . . . 4
19 simplr 755 . . . . . . . . . 10
20 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2321, 22ssexd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
247fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . 14
2928ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . 13
3029imp 429 . . . . . . . . . . . 12
31 ralbi 2988 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3332biimpa 484 . . . . . . . . . 10
34 ssel 3497 . . . . . . . . . . . 12
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11
3635ral2imi 2845 . . . . . . . . . 10
3719, 33, 36sylc 60 . . . . . . . . 9
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
3938eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
4039rspccva 3209 . . . . . . . . 9
4137, 40sylan 471 . . . . . . . 8
42 eqid 2457 . . . . . . . 8
4341, 42fmptd 6055 . . . . . . 7
44 simpll 753 . . . . . . . 8
45 acnrcl 8444 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
47 fex2 6755 . . . . . . 7
4843, 46, 44, 47syl3anc 1228 . . . . . 6
49 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
5015, 42, 49fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
5150eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
5251ralbiia 2887 . . . . . . . 8
5333, 52sylibr 212 . . . . . . 7
5443, 53jca 532 . . . . . 6
55 feq1 5718 . . . . . . . 8
56 fveq1 5870 . . . . . . . . . 10
5756eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
5857ralbidv 2896 . . . . . . . 8
5955, 58anbi12d 710 . . . . . . 7
6059spcegv 3195 . . . . . 6
6148, 54, 60sylc 60 . . . . 5
6261ex 434 . . . 4
6318, 62syl5bi 217 . . 3
6463exlimdv 1724 . 2
6511, 64mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  AC_wacn 8340
This theorem is referenced by:  acni3  8449  acndom  8453  acnnum  8454  acndom2  8456  dfacacn  8542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator