MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnnum Unicode version

Theorem acnnum 8454
Description: A set which has choice sequences on it of length is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnnum

Proof of Theorem acnnum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4636 . . . . . . 7
2 difss 3630 . . . . . . 7
3 ssdomg 7581 . . . . . . 7
41, 2, 3mpisyl 18 . . . . . 6
5 acndom 8453 . . . . . 6
64, 5mpcom 36 . . . . 5
7 eldifsn 4155 . . . . . . 7
8 elpwi 4021 . . . . . . . 8
98anim1i 568 . . . . . . 7
107, 9sylbi 195 . . . . . 6
1110rgen 2817 . . . . 5
12 acni2 8448 . . . . 5
136, 11, 12sylancl 662 . . . 4
14 simpr 461 . . . . . 6
157imbi1i 325 . . . . . . . 8
16 impexp 446 . . . . . . . 8
1715, 16bitri 249 . . . . . . 7
1817ralbii2 2886 . . . . . 6
1914, 18sylib 196 . . . . 5
2019eximi 1656 . . . 4
2113, 20syl 16 . . 3
22 dfac8a 8432 . . 3
2321, 22mpd 15 . 2
24 pwexg 4636 . . 3
25 numacn 8451 . . 3
2624, 25mpcom 36 . 2
2723, 26impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593   cdom 7534   ccrd 8337  AC_wacn 8340
This theorem is referenced by:  dfac13  8543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-card 8341  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator