MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add20 Unicode version

Theorem add20 10089
Description: Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
add20

Proof of Theorem add20
StepHypRef Expression
1 simpllr 760 . . . . . . . . 9
2 simplrl 761 . . . . . . . . . 10
3 simplll 759 . . . . . . . . . 10
4 addge02 10088 . . . . . . . . . 10
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . 9
61, 5mpbid 210 . . . . . . . 8
7 simpr 461 . . . . . . . 8
86, 7breqtrd 4476 . . . . . . 7
9 simplrr 762 . . . . . . 7
10 0red 9618 . . . . . . . 8
112, 10letri3d 9748 . . . . . . 7
128, 9, 11mpbir2and 922 . . . . . 6
1312oveq2d 6312 . . . . 5
143recnd 9643 . . . . . 6
1514addid1d 9801 . . . . 5
1613, 7, 153eqtr3rd 2507 . . . 4
1716, 12jca 532 . . 3
1817ex 434 . 2
19 oveq12 6305 . . 3
20 00id 9776 . . 3
2119, 20syl6eq 2514 . 2
2218, 21impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cle 9650
This theorem is referenced by:  add20i  10121  sumsqeq0  12246  4sqlem15  14477  4sqlem16  14478  ang180lem2  23142  mumullem2  23454  2sqlem7  23645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
  Copyright terms: Public domain W3C validator