MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addassnq Unicode version

Theorem addassnq 9357
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addassnq

Proof of Theorem addassnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addasspi 9294 . . . . . . . 8
2 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
3 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
4 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
5 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . 11
6 distrpi 9297 . . . . . . . . . . 11
72, 3, 4, 5, 6caovdir 6509 . . . . . . . . . 10
8 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . 11
98oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
107, 9eqtri 2486 . . . . . . . . 9
1110oveq1i 6306 . . . . . . . 8
12 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
13 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
14 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
1512, 13, 14, 5, 6caovdir 6509 . . . . . . . . . 10
16 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
17 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . 12
1816, 4, 14, 5, 17caov32 6502 . . . . . . . . . . 11
19 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . 12
20 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . 13
2120oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
2318, 22oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10
2415, 23eqtri 2486 . . . . . . . . 9
2524oveq2i 6307 . . . . . . . 8
261, 11, 253eqtr4i 2496 . . . . . . 7
27 mulasspi 9296 . . . . . . 7
2826, 27opeq12i 4222 . . . . . 6
29 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
30293ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
31 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
32313ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
33 addpipq2 9335 . . . . . . . . 9
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . 8
35 relxp 5115 . . . . . . . . 9
36 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
37363ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
38 1st2nd 6846 . . . . . . . . 9
3935, 37, 38sylancr 663 . . . . . . . 8
4034, 39oveq12d 6314 . . . . . . 7
41 xp1st 6830 . . . . . . . . . . 11
4230, 41syl 16 . . . . . . . . . 10
43 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . 11
4432, 43syl 16 . . . . . . . . . 10
45 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . 9
47 xp1st 6830 . . . . . . . . . . 11
4832, 47syl 16 . . . . . . . . . 10
49 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . 11
5030, 49syl 16 . . . . . . . . . 10
51 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
5248, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9
53 addclpi 9291 . . . . . . . . 9
5446, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8
55 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
5650, 44, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8
57 xp1st 6830 . . . . . . . . 9
5837, 57syl 16 . . . . . . . 8
59 xp2nd 6831 . . . . . . . . 9
6037, 59syl 16 . . . . . . . 8
61 addpipq 9336 . . . . . . . 8
6254, 56, 58, 60, 61syl22anc 1229 . . . . . . 7
6340, 62eqtrd 2498 . . . . . 6
64 1st2nd 6846 . . . . . . . . 9
6535, 30, 64sylancr 663 . . . . . . . 8
66 addpipq2 9335 . . . . . . . . 9
6732, 37, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8
6865, 67oveq12d 6314 . . . . . . 7
69 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
7048, 60, 69syl2anc 661 . . . . . . . . 9
71 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
7258, 44, 71syl2anc 661 . . . . . . . . 9
73 addclpi 9291 . . . . . . . . 9
7470, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . 8
75 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
7644, 60, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8
77 addpipq 9336 . . . . . . . 8
7842, 50, 74, 76, 77syl22anc 1229 . . . . . . 7
7968, 78eqtrd 2498 . . . . . 6
8028, 63, 793eqtr4a 2524 . . . . 5
8180fveq2d 5875 . . . 4
82 adderpq 9355 . . . 4
83 adderpq 9355 . . . 4
8481, 82, 833eqtr4g 2523 . . 3
85 addpqnq 9337 . . . . 5
86853adant3 1016 . . . 4
87 nqerid 9332 . . . . . 6
8887eqcomd 2465 . . . . 5
89883ad2ant3 1019 . . . 4
9086, 89oveq12d 6314 . . 3
91 nqerid 9332 . . . . . 6
9291eqcomd 2465 . . . . 5
93923ad2ant1 1017 . . . 4
94 addpqnq 9337 . . . . 5
95943adant1 1014 . . . 4
9693, 95oveq12d 6314 . . 3
9784, 90, 963eqtr4d 2508 . 2
98 addnqf 9347 . . . 4
9998fdmi 5741 . . 3
100 0nnq 9323 . . 3
10199, 100ndmovass 6463 . 2
10297, 101pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035  X.cxp 5002  Relwrel 5009  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   cplpq 9247   cnq 9251   cerq 9253   cplq 9254
This theorem is referenced by:  ltaddnq  9373  addasspr  9421  prlem934  9432  ltexprlem7  9441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-1nq 9315
  Copyright terms: Public domain W3C validator